嘉祥一中2012—2013学年高二下学期期末考试

数学（理）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知全集I＝R，若函数
，集合M＝{x|
}，

N＝{x|
}，则
(　　)

A.  B.  C.  D. 

2.下列命题，正确的是（ ）

A.若z∈C，则z2≥0

B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i

C.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数

D.若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限

3．如果
的展开式中各项系数之和为128，则开式中
的系数是（ ）

A.
B.
C.
D.

4．已知函数
的导函数
的图像如右图所示，那么

函数
的图像最有可能的是( )

5.已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝(　 　)

A．2n　　　 B．n2 C．3n D．nn

6.已知向量
，
，若
与
的夹角为
，则
（ ）

7.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于(　 )

A.
B.
C.
D.

8.方程
表示的曲线为 （ ）

A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

9.已知
是椭圆的两个焦点。满足
的点
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

.
.

.
.

10.直线y = x + 1被椭圆
=1所截得的弦的中点坐标是 ( )

A. (
,
). B. (
,
).

C. (–
,
). D.( –
, –
).

11．设
是定义在R上的奇函数，且
,当
时，有
恒成立，则不等式
的解集是( )

A. (-2,0) ∪(2,+∞) B. (-2,0) ∪(0,2)

C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(0,2)

12.在2010年广州亚运会上，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 ( )

A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7



则y与x的线性回归方程为
必过点的坐标为 .

14.设
若
，则
．

15．设非零常数d是等差数列
的公差，随机变量
等可能地取值
，则方差

16．若对任意
有唯一确定的
与之对应，则称
为关于x，y 的二元函数，现定义满足下列性质的
为关于实数x，y的广义“距离”：

（1）非负性：
，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：

给出三个二元函数：①
②
③

则所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号为 。

三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本小题满分10分）已知双曲线的方程为
，

（1）求出该曲线的实轴长，焦点坐标，渐近线方程，

（2）若曲线上一点的纵坐标为
，求其与曲线两焦点的距离。

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．

(1)求m的值；

(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.

19. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点的极坐标为
，直线
的极坐标方程为
，且点在直线
上．

（1）求的值及直线
的直角坐标方程；

（2）圆C的参数方程为
，（为参数），试判断直线
与圆C的位置关系．

20．（本小题满分12分）

已知函数

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）求函数
的极值．

21.（本小题满分12分）

在数列
中,
,

.

(1)求
；

(2)求数列
的通项公式；

(3)若
，数列
的前项和
，求证：
.

22.（本小题满分12分）

已知函数

（1）若
在
处取得极值，求m的值；

（2）讨论
的单调性；

（3）
，且数列
前项和为
，求证：

参考答案：

1-5 ADCAD 6-10 CBCCC 11-12 DC

13. (1.5, 4) ；14. 1 ；15.
；16. ① ② .

17.解：（1）实轴长6，焦点坐标
，渐近线方程

（2）准线

18.解　(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，

f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，

由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．

又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.

(2)证明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥2＝9.

19. 解：（1）由点
在直线
上，可得

所以直线
的方程可化为
，从而直线
的直角坐标方程为

（2）由已知得圆
的直角坐标方程为
，所以圆心为
，半径

所以为圆心到直线的距离
，所以直线与圆相交.

20. 解：函数
的定义域为
，
．

（1）当
时，
，
，

，

在点
处的切线方程为
，

即
．

（2）由
可知：

①当
时，
，函数
为
上的增函数，函数
无极值；

②当
时，由
，解得
；

时，
，
时，

在
处取得极小值，且极小值为
，无极大值．

综上：当
时，函数
无极值

当
时，函数
在
处取得极小值
，无极大值．

21.解：（1）∵a1=1,an+1=,

∴a2=  = ,a3 =  = ,a4 =  = .

(2)方法一：猜想：an=。下面用数学归纳法证明：

1°当n=1时,a1==1,等式成立。

2°假设当n=k时，ak=成立。则n=k+1时,ak+1====

即n=k+1时,等式也成立,

由数学归纳法知:an=对n∈N*都成立。

方法二：构造等差数列。

（3）由（2）知：bn===２[-]

从而sn=b1+b2+…+bn=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]<2,

又因为
，? 所以
.

22.（1）
是
的一个极值点，则

，验证知m=2符合条件

（2）

1）若m=2时，

单调递增，在
单调递减；

2）若
时，当

∴f(x)在R上单调递减

3）若

上单调减

上单调增

…… 9分

综上所述，若
∴f(x)在R上单调递减，

若m=2时，
单调递增，在
单调递减；

若

上单调减

上单调增

(3)由（2）知，
∴f(x)在R上单调递减，

当

∴

∴

=