石家庄市第一中学

2012—2013学年第二学期期末高二年级数学（理）试题

试卷Ⅰ（共 60 分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合
，则

A.
B.
C.
D.

2．已知
是虚数单位，则
等于

A．
B．
C．
D．

3．公差不为零的等差数列第
项构成等比数列，则这三项的公比为

A．1 B．2 C．3 D．4

4．从
中任取
个不同的数，设
表示事件“取到的
个数之和为偶数”，
表示事件“取到的
个数均为偶数”，则

A．
B．

C．
D．

5.在
中,已知
,且
,则

A.
B.

C.
D.

6．执行如右图所示的程序框图，输出的
值为

A．
B．
C．
D．

7. 如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为

边长为
锐角
的菱形，俯视图为正方形，

则此几何体的内切球表面积为

A．
B．
C．
D．

8．函数
的图象是

A． B． C． D．

9. 已知函数
，如果存在实数
，使得对任意的实数
，都有
成立，则
的最小值为

A．
B．
　　　　　C．
D．

10．已知球
的直径
，
是球
球面上的三点，
是正三角形，且
，则三棱锥
的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

11. 过双曲线
的左焦点
，作圆：
的切线，切点为
，延长
交双曲线右支于点
，若
，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

12．已知函数
的两个极值点分别为
且
，记分别以
为横、纵坐标的点
表示的平面区域为
，若函数
的图象上存在区域D内的点，则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

试卷Ⅱ（共 90 分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．

13．某市有A、B、C三所学校共有高二理科学生1500人，且A、B、C三所学校的高二理科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二理科学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_____人.

14．过抛物线
的焦点
的直线
与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若
，
，则抛物线的方程为 .

15. 设曲线
在点
处的切线与
轴的交点的横坐标为
，令
，则
的值为 ．

16．观察下列算式：

，

若某数
按上述规律展开后，发现等式右边含有“
”这个数，则
．

三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.

17. （本题满分12分）

已知
中，角
所对的边分别是
，且

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，求
面积的最大值．

18.（本小题满分12分）

在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为
的考生有
人.

（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这
人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.

19. (本小题满分12分）

在三棱柱
中，侧面
为矩形，
为

中点，
与
交于点
，
丄面
．

(Ⅰ )证明：

(Ⅱ)若
求二面角
的余弦值.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率
且经过点
，抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合．

（Ⅰ）过
的直线与抛物线
交于
两点，过
分别作抛物线
的切线
，求直线
的交点
的轨迹方程；

（Ⅱ）从圆
上任意一点
作椭圆
的两条切线，切点分别为
，试问
的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）函数
在区间
上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求整数
的最大值；

（Ⅲ）试证明：
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙O相切，
为切点，过点
的割线交圆于
两点，弦

相交于点
为
上一点，且

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若
求
的长.

23. (本小题满分10分)　选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为
(
为参数）.若以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线
的极坐标方程为
.

(Ⅰ) 求曲线
的直角坐标方程;

(Ⅱ) 求直线被曲线
所截得的弦长.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．

设函数

(Ⅰ)解不等式

(Ⅱ)若
的定义域为
，求实数
的取值范围.