石家庄市第一中学

2012—2013学年第二学期期末高二年级数学（文）试题

试卷Ⅰ（共 60 分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
,
,则
,则

A．
B．
C．
D．

2．已知为虚数单位，复数z=
，则复数
的虚部是

A．
B．
C．
D．

3. 如右图所示的程序框图的输出值
，则输入值
的取值范围为

A．
B．

C．
D．

4.下列有关命题的说法中错误的是

A．若“
”为假命题，则
、
均为假命题

B．“
”是“
”的充分不必要条件

C．“
”的必要不充分条件是“
”

D．若命题
：“
实数
，使
”，则命题
为“对于
都有
”

5. 已知点
是边长为1的等边
的中心，则
等于

A．
B．
C．
D．

6. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

7. 等差数列
的公差
，且
，则该数列的前
项和取得最大值时，

A．
B．
C．
或
D．
或

8．已知函数
，则

A.
在
时取得最小值
，其图像关于点
对称

B.
在
时取得最小值
，其图像关于点
对称

C.
在
单调递减，其图像关于直线
对称

D.
在
单调递增，其图像关于直线
对称

9．函数
的图象是

A． B． C． D．

10．已知
是同一球面上的四个点，其中
是正三角形，
平面

则该球的表面积为

A．
B．
C．
D．

11. 过双曲线
的左焦点
，作圆：

的切线，切点为
，延长
交双曲线右支于点
，若
，则双曲线

的离心率为

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
的两个极值点分别为
且

记分别以
为横、纵坐标的点
表示的平面区域为
，若函

数
的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为

A．
B．
C．
D．

试卷Ⅱ（共 90 分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．

13．某市有A、B、C三所学校共有高二学生1500人，且A、B、C三所学校的高二学生人数成等差数列，在进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_____人.

14．已知
，
，且
，
，
成等比数列，则
的最小值是_______.

15.如图，
是边长为
的正方形，动点
在以
为直径的圆弧
上，则
的取值范围是 .

16．已知函数
，给出如下四个命题：

①
在
上是减函数；

②
的最大值是2；

③函数
有两个零点；

④
在
上恒成立.

其中正确的序号是 .

三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.

17. （本题满分12分）

设
的内角A、B、C所对的边长分别为
、
、
，已知
，

（Ⅰ）求边长
的值；

（Ⅱ）若
的面积
，求
的周长
.

18.（本小题满分12分）

以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆
学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆
学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以
表示.

（Ⅰ）如果
，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；

（Ⅱ）如果
，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学

恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．

19. (本小题满分12分）

如图所示,
和
是边长为2的正三角形,且平面
平面

,
平面
,
.

(Ⅰ)证明:
;

(Ⅱ)求三棱锥
的体积.

20．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为
，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点
任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记
，若在线段MN上取一点R，使得
，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程.



21．（本小题满分12分）

已知函数
，
（其中
实数,
是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
上的最小值；

( Ⅲ) 若存在
，使方程
成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线
过圆心
，交⊙
于
，直线
交⊙
于
,(不与
重合)，直线
与⊙
相切于
,交
于
,且与
垂直，垂足为
,连结
.

求证：（Ⅰ）
; (Ⅱ)
.

23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
(
为参数)，曲线
的极坐标方程

（Ⅰ）求曲线
的普通方程；(Ⅱ)求直线
被曲线
截得的弦长.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
.

(Ⅰ）解不等式
；

(Ⅱ）对于实数
，若
，求证
．