邵武第七中学2012-2013学年高二上学期期末

数学理试题

（考试时间：120分钟 满分：150分）

注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、座号等信息．2.请将答案正确填写在答题卡上.

一、选择题（每小题5分，共60分）

1、如果命题“p且q”是假命题,“非p” 是真命题,那么 ( )

A.命题p 一定是真命题 　　 B.命题q 一定是真命题

C.命题q 可以是真命题也可以是假命题 D.命题q 一定是假命题

2、给出命题:若函数
是幂函数,则函数
的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

3、已知函数
,则
( )

A.1/2 B.
C. 0 D.

4、已知
、
为实数,则
是
的 ( )

A. 充要条件 B.充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

5、已知命题
,命题
,若命题“
” 是真命题,则实数
的取值范围是 ( )

A.
B.
C.
D.

6．如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是(　　)

A． B． C． D．

7．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C的余弦值为(　　)

A． B． C．  D．

8、我们把由半椭圆
与半椭圆

合成的曲线称作“果圆”(其中

).设点
是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2是“果圆”与x,y轴的交点,若△F0F1F2是边长为1的等边三角,则a,b的值分别为( )A.
B.
C.5,3 D.5,4

9、设
和
为双曲线
(
)的两个焦点, 若
,
是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )

A.
B.
C.
D.3

10、设斜率为2的直线
过抛物线
的焦点F,且和
轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )

A.
B.
C.
D.

11．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　)

A．60° B．90°C．45° D．以上都不正确

12、平面α的一个法向量n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)

A． B．  C． D．

二、填空题

13． 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝，若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，则k的值为________．

14． 已知向量a＝(cos θ，sin θ，1)，b＝(，－1,2)，则|2a－b|的最大值为________．

15、已知椭圆
与双曲线

有相同的焦点
和
,若
是
、
的等比中项,
是
与
的等差中项,则椭圆的离心率是

.

16、现有下列命题:

①命题“
”的否定是“
”;

②若
,
,则
=
;

③函数
是偶函数的充要条件是
;

④若非零向量
满足
=


=

(
),则
=1.

其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)

邵武七中2012--2013学年高二上学期

数学（理科）期末试卷答题卡

一、选择题 （每小题5分，共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12































二、填空（每小题4分，共16分）13、 14、 15、 16、

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

17、(12分)设命题p:不等式
的解集是
;命题q:不等式
的解集是
,若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围.

18、(12分)已知向量b与向量a=(2,-1,2)共线，且满足a·b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求向量b及k的值.

19、(12分)如图所示,已知圆O1与圆O2外切,它们的半径分别为3、1,

圆C与圆O1、圆O2外切.

(1)建立适当的坐标系,求圆C的圆心的轨迹方程;

(2)在(1)的坐标系中,若圆C的半径为1,求圆C的方程.

20、(12分)某工厂有一段旧墙长14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为126m2的厂房,工程条件是:

①建1m新墙的费用为a元;②修1m旧墙的费用为
元;③拆去1m的旧墙,用可得的建材建1m的新墙的费用为
元,经讨论有两种方案:

(1)利用旧墙一段x m(0＜x＜14)为矩形一边;

(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14;

问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较(1)(2)两种方案哪个更好.

21、(12分)已知
、
分别为椭圆
:
的上、下焦点,其中
也是抛物线
的焦点,点
是
与
在第二象限的交点,且
.

(1)求椭圆
的方程;

(2)已知点
和圆
:
,过点
的动

直线
与圆
相交于不同的两点
,在线段
上取一点

,满足:
,
,(
且
).

求证:点
总在某定直线上.

22、(14分)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
PD．

（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ

（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．

理科试题参考答案

6. A

7.B

10.B 抛物线
的焦点F坐标为
,则直线
的方程为
,

它与
轴的交点为A
,所以△OAF的面积为
,

解得
.所以抛物线方程为
.

10.D
,∴
,
,根据导数的几何意义,

,∴
.

11B

12.A

13. 【答案】－或2

14. 【答案】4

15.
本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得

①,
②,
③,将①代入③得

,∴
,代入③得
,再代入②得
,得
.

16.②③ 将
=

代入
=

得(

)
=0,∴
,有
,④错.

∴命题q:
.

由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.

当p、q均为假命题,则
,而
.

∴实数a的值取值范围是
.

18.解: ∵a,b共线，∴存在实数λ,使b=λa,

∴a·b=λa2=λ︱a︱2,解得λ=2.

∴b=2a=(4,-2,4).

∵(ka+b)⊥(ka-b),

∴(ka+b)·(ka-b)=(ka+2a)·(ka-2a)=0,

即(k2-4)︱a︱2=0，

解得k=±2.

19.解:(1)如图,以
所在的直线为
轴,以
的中垂线

所在的直线为
轴,建立平面直角坐标系.设圆C的圆心

为
,半径为
,由


,

得圆C的圆心的轨迹是以
，
为焦点,

定长为2的双曲线,设它的方程为
.由
,得
,

又
,∴
.又点
不合题意,且
,知
.

∴圆C的圆心的轨迹方程是
(
).

(2)令
,由圆
与圆
、
相切得
,
,

故
,解得
,∴圆C的方程为
.

20.解:(1)方案:修旧墙费用为x·
元,拆旧墙造新墙费用为(4－x)·
,

其余新墙费用:

∴总费用
　(0＜x＜14)

∴
≥35a,当x＝12时,ymin＝35a.

答:采用(1)方案更好些.

21.解:(1)由
知
,设
,因
在抛物线
上,

故
…①又
,则
……②, 由①②解得
,
.而点
椭圆上,故有
即
…③, 又
,则
…④

由③④可解得
,
,∴椭圆
的方程为
.

(2)设
,
,

由
可得:
,即

由
可得:
,即

⑤
⑦得:
⑥
⑧得:

两式相加得

又点
在圆
上,且
,所以
,

即
,∴点
总在定直线
上.

22.解: 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系
.

(Ⅰ)依题意有
，
，
，

则
，
，
，所以
，
，

因此可取

设
是平面
的法向量，则

可取
所以
且由图形可知二面角
为钝角

故二面角
的余弦值为