芗城中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若复数
是纯虚数，则实数a的值为 （　　）

A．1 B．2 C．1或2 D．-1

2. 观察按下列顺序排列的等式：
，
，
，
，
，猜想第
个等式应为

A．
B．

C.
D．

3．设
则
（ ）

A．都不大于
B．都不小于

C．至少有一个不大于
D．至少有一个不小于

4． 设
，
，
，则
的大小顺序是( )

A.
B.
C.
D.

5．函数
的零点个数为（ ）

6.若函数
在其定义域的一个子区间
上不是单调函数，则实数
的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

7．用数学归纳法证明不等式“
”时的过程中，由
到
时，不等式的左边 （　　）

A．增加了一项
B．增加了两项

C．增加了两项
，又减少了一项

D．增加了一项
，又减少了一项

8．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）

A. 16 B. 18 C. 24 D. 32

9．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离
（单位：m）关于时间
（单位：s）的函数为
，求当
时，梯子上端下滑的速度为（ ）

10．设函数
在区间（0，4）上是减函数，则
的取值范围是 ( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5题，每小题5分，共25分）

11.计算：已知
，那么
=

12. 函数
的单调递增区间是

13．在平面几何中,有射影定理：“在
中,
，点
在
边上的射影为
，有
.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥
中,
平面
，点
在底面
上的射影为
，则有 .”

14.由曲线
，
围成的封闭图形的面积为 。

15．已知
其中
是常数,则
= .

三．解答题：本大题共5个小题.共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

设集合
,从集合
中各取2个元素组成没有重复数字的四位数.

可组成多少个这样的四位数？

（2）有多少个是2的倍数或是5的倍数？

17（本小题满分12分）

已知函数
：

求函数的极值

求函数在区间
上的最大值和最小值

18．（本小题满分12分）

已知
的展开式中前三项的系数成等差数列．

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

19（本小题满分12分）

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位:cm）满足：
，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（1）求K的值及f(x)的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小并求最小值。

20. （本小题满分13分）

是否存在常数
，使等式
对于一切
都成立?若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？

21. （本小题满分14分）

已知函数
在
上是增函数，在
上为减函数.

（1）求
的表达式；

（2）若当

时，不等式
恒成立，求实数
的值；

（3）是否存在实数
使得关于
的方程
在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数
的取值范围.

参考答案（理）

17 解：(1)
解方程
，得

当x变化时，
变化状态如下表：

x















+

0

—

0

+

















当x=2时，函数有极大值，且

而当x=2时，函数有极小值，且

（2）当x=-3时，有

当x=4时，有

由(1)可知函数在区间
上的最大值是
，最小值是
。

（3）若存在实数b使得条件成立，

方程f(x)=x2+x+b

即为x-b+1-ln(1+x)2=0,

令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,

则g′(x)=1-
=
,

令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,

令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,

故g(x)在［0，1］上单调递减，在［1，2］上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间［0，1］和［1，2］上各有一个实根，于是有

2-2ln2＜b≤3-2ln3,

故存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件.