【命题范围：必修5至选修2—1《双曲线》】

时量 120分钟 总分 150分

一、选择题（每小题5分，共40分）

命题“x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是（ ）

A． x∈Z，使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0

C． x∈Z，使x2＋2x＋m≤0 D． x∈Z，使x2＋2x＋m>0

如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于（ ）

A．10m

B．5
m

C．5(
－1)m

D．5(
＋1)m

已知△ABC的面积为
，AC＝2，∠BAC＝60°，则∠ACB＝（ ）

A．30° B．60° C．90° D．150°

已知变量x，y满足约束条件
，则y－2x的取值范围是（ ）

A．[－
，4] B．[－
，1] C．[1，4] D．[－1，1]

已知椭圆
＝1的离心率e＝
，则m＝（ ）

A．3 B．3或
C．
D．
或

已知数列
中，a1＝1，a2＝2＋3，a3＝4＋5＋6，a4＝7＋8＋9＋10，依此类推，则a10＝（ ）

A．610 B．510 C．505 D．750

已知等比数列
中，
＋
＋
＝2，
＋
＋
＝4，
＋
＋
＝（ ）

A．64 B．32 C．16 D．8

下列命题中，假命题是（ ）

A．若a，b∈R且a＋b＝1，则a·b≤

B．若a，b∈R，则
≥
≥ab恒成立

C．
(x∈R) 的最小值是2

D． x0，y0∈R，x02＋y02＋x0y0<0

二、填空题（每小题5分，共35分）

设a<0，－1

已知集合A＝
，B＝
，若A∩B＝
，则实数a的取值范围是 .

若k∈R，则“k>3”是“方程
＝1表示双曲线”的 条件.

（填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”条件）

设
是公差不为0的等差数列，
＝2且
，
，
成等比数列，则
的前5项和
＝ .

在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－
，则b＝ .

若双曲线C与双曲线
－
＝1有相同的渐近线，且过点A（3，
），则双曲线C的方程为 .

已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|0），若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为 .

三、解答题（本大题共75分，请写出必要的计算或证明过程）

（本小题满分12分）已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝
在（0，＋∞）上单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点；如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围.

（本小题满分12分）在△ABC中，已知AC＝3，三个内角A，B，C成等差数列.

（1）若cosC＝
，求AB； （2）求△ABC的面积的最大值.

（本小题满分12分）若a∈R，解关于x的不等式
.

（本小题满分13分）某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，求这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？

（本小题满分13分）已知等比数列
满足2
＋
＝3
，且
＋2是
，
的等差中项.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
＝
＋
，
＝
＋
＋···＋
，求
.

（本小题满分13分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点

(
，
).

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在不过原点O的直线l，使得直线l与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列？若存在，试求△OPQ面积的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案

【命题范围：必修5至2—1《双曲线》】

一、选择题：（每小题5分，共40分）

三、解答题：（共75分）

16、（本小题满分12分）

解：函数y＝
在（0，＋∞）上单调递减，则0

曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，则△＝(2a－3)2－4×1×1>0，解得：

a>
，或a<
，结合a>0且a≠1，得q：a>
或0

由p∧q为假命题，p∨q为真命题得：
，或
，

解得：
≤a<1，或a>
；∴实数a的取值范围为[
，1）∪（
，＋∞）.

17、（本小题满分12分）

解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝，∴B＝
，

由cosC＝
，求得sinC＝
，由正弦定理得：
，∴AB＝2.

（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：
，

∴
≥2ac，∴ac≤9，∴
＝
ac·sinB≤
，

∴△ABC面积的最大值为
.

18、（本小题满分12分）

解：原不等式可化为
．

（1）当a＝－2时，解集为：{x|x≠2}；

（2）当a>－2时，解集为：{x|x>1－
或x<－a}；

（3）当a<－2时，解集为：{x|x>－a或x<1－
}.

19、（本小题满分13分）

解：设稳健型组合投资与进取型组合投资分别注入x，y份，

则
，目标函数z＝10x＋15y，

作出可行域，得最优解为x＝4， y＝2，∴
＝70万元.

21、（本小题满分13分）

解：（1）由题可设椭圆的方程为
＋
＝1（a>b>0），则
，解得：
，∴椭圆的方程为：
.

∵0

∴这样的直线l存在，且S△OPQ的取值范围为：(0，1).