注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生在立体几何答题时，在相关试题图形上作出相应的辅助线

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线x﹣2y+7=0的斜率是（　　）

A．

2

B．

﹣2

C．



D．





2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　）

A．



B．



C．



D．







3．垂直于同一平面的两条直线一定（　　）

A．

平行

B．

相交

C．

异面

D．

以上都有可能





4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）

5．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（　　）

A．

第一、二、三象限

B．

第一、二、四象限

C．

第一、三、四象限

D．

第二、三、四象限



　

6．若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（　　）

A．

（0，4）

B．

（0，2）

C．

（﹣2，4）

D．

（4，﹣2）



　

7．下面四个说法中，正确的个数为（　　）

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

（2）两条直线可以确定一个平面

（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l

（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4



8．已知点
，若直线
过点
与线段
相交，则直线
的斜率
的取值范围是（ ）

A
B
C
D

9．正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E是A1A的中点、F是C1C的中点，与直线A1D1，EF，DC都相交的空间直线有多少条？（　　）

A．

1条

B．

无数条

C．

3条

D．

2条





10、如右图，已知正四棱锥
所有棱长都为1，点是侧棱
上一动点，过点垂直于
的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记
截面下面部分的体积为
则函数
的图像大致为（　　）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．若直线l过点（3，4），且（﹣2，1）是它的一个方向向量，则直线l的方程为　_________　．

12．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为　　．

13.在斜二测画法下，四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为
，则原四边形的面积是　　．

14．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是　　（写出所有符合要求的图形序号）．

15.如图，在长方形
中，
，
，为
的中点，为线段
（端点除外）上一动点．现将
沿
折起，使平面
平面
．在平面
内过点作
，为垂足．设
，则的取值范围是 ．

三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（13分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．

17．（13分）一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程。

18．（13分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结
，证明：
∥平面EFG.

19．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．

（1）试用x表示圆柱的体积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．

20．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；

（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．

21．（本小题满分12分）

如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为
．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为
，
，且
. 过
，
的中点
，且与直线
平行的平面截多面体
所得的截面
为该多面体的一个中截面，其面积记为
．

（Ⅰ）证明：中截面
是梯形；

（Ⅱ）在△ABC中，记
，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形
区域内正下方的矿藏储量（即多面体
的体积）时，可用近似公式
来估算. 已知
，试判断
与V的大小关系，并加以证明.

2013-2014学年重庆市万州第二高级中学

高二（上）期中数学（文科）试卷

参考答案与试题解析

3．（5分）垂直于同一平面的两条直线一定（　　）

A．

平行

B．

相交

C．

异面

D．

以上都有可能





考点：

直线与平面垂直的性质．



专题：

证明题．



分析：

可用反证法证明：垂直于同一平面的两条直线平行．设直线a、b都与平面α垂直，并假设a、b不平行，再作出辅助线和辅助平面，结合线面垂直的定义和平行线的性质，可以证出经过空间一点有两条直线与已知直线垂直，得到与公理矛盾，所以原假设不成立，从而得到原命题是真命题．



解答：

故选A



点评：

本题要求我们判断垂直于同一平面的两条直线的位置关系，着重考查了反证法的思路和线面垂直的定义等知识点，属于基础题．



　

4．（5分）（2007?山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）

A．

①②

B．

①③

C．

①④

D．

②④





考点：

简单空间图形的三视图．



专题：

阅读型．



分析：

利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．



解答：

解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，

所以，正确答案为D．

故选D



点评：

本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．



5．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（　　）

A．

第一、二、三象限

B．

第一、二、四象限

C．

第一、三、四象限

D．

第二、三、四象限





考点：

确定直线位置的几何要素．



专题：

计算题．



分析：

把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置．



解答：

解：直线ax+by=c 即 y=
x+
，

∵ab＜0，bc＜0，

∴斜率 k=﹣
＞0，

在y轴上的截距
＜0，

故直线第一、三、四象限，

故选C．



点评：

本题考查直线方程的斜截式，由斜率和在y轴上的截距确定直线在坐标系中的位置的方法．



6．（5分）（2011?湖北模拟）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（　　）

A．

（0，4）

B．

（0，2）

C．

（﹣2，4）

D．

（4，﹣2）





考点：

恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程．



专题：

常规题型．



分析：

先找出直线l1恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称点（0，2）在直线l2上，可得直线l2恒过定点．



解答：

解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），

又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．

故选B



点评：

本题考查直线过定点问题，由于直线l1和直线l2关于点（2，1）对称，故有直线l1上的定点关于点（2，1）对称点

一定在直线l2上．




8. ．已知点
，若直线
过点
与线段
相交，则直线
的斜率
的取值范围是（C ）

A
B
C
D

9．正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E是A1A的中点、F是C1C的中点，与直线A1D1，EF，DC都相交的空间直线有多少条？（　　）

A．

1条

B．

无数条

C．

3条

D．

2条





考点：

空间中直线与直线之间的位置关系．



专题：

空间位置关系与距离．



分析：

先画出正方体，然后根据题意试画与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线，从而发现结论．



解答：

解：在EF上任意取一点M，

直线A1D1与M确定一个平面，

这个平面与CD有且仅有1个交点N，

当M取不同的位置就确定不同的平面，

从而与CD有不同的交点N，

而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图，

故选B．



点评：

本题主要考查空间中直线与直线之间的位置关系、立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力，属于中档题．



　

10、如右图，已知正四棱锥
所有棱长都为1，点是侧棱
上一动点，过点垂直于
的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记
截面下面部分的体积为
则函数
的图像大致为

10.A【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式，线面垂直，同时考查了函数的思想,导数法解决几何问题等重要的解题方法.

（定性法）当
时，随着的增大，观察图形可知，
单调递减，且递减的速度越来越快；当
时，随着的增大，观察图形可知，
单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.

【点评】对于函数图象的识别问题，若函数
的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间.

二、填空题：（每题5分，共计25分）

11．（2011?上海）若直线l过点（3，4），且（﹣2，1）是它的一个方向向量，则直线l的方程为　x+2y﹣11=0　．

考点：

直线的点斜式方程；向量在几何中的应用．



专题：

计算题．



分析：

根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程．



解答：

解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣
，所以直线的方程为：y﹣4=﹣
（x﹣3），

所以直线方程为：x+2y﹣11=0．

故答案为：x+2y﹣11=0．



点评：

本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求法，考查计算能力．



　12.设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为　6a2π　．

考点：

球内接多面体；球的体积和表面积．



专题：

计算题．



分析：

考查几何体的特征，说明长方体的对角线就是外接球的直径，求出半径，即可求出球的表面积．



解答：

解：长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球的直径为：
，

所以球的半径为：
，所以球的表面积是：
=6a2π

故答案为：6a2π



点评：

本题是基础题，考查长方体的外接球的知识，考查球的表面积的计算，常考题型．



　13．在斜二测投影下，四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为
，则原四边形的面积是　8
　．

考点：

斜二测法画直观图．



专题：

计算题；作图题．



分析：

根据斜二测画法的规则还原出原图性，应为直角梯形，利用梯形的面积公式求解即可．也可利用直观图和原图面积的联系求解．



解答：

解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则AE=BF=ADcos45°=1，

∴CD=EF=3．将原图复原（如图），

则原四边形应为直角梯形，∠A=90°，AB=5，CD=3，AD=2
，

∴S四边形ABCD=
?（5+3）?2
=8
．

故答案为：8
．



点评：

本题考查斜二测画法的理解和应用，考查作图能力．



　

14．（2003?天津）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是　①③　（写出所有符合要求的图形序号）．

考点：

直线与平面平行的性质．



专题：

综合题；压轴题．



分析：

能得出AB∥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与AB平行的直线，或者有没有过AB的平面与平面MNP平行．逐一判断即可．



解答：

解：①∵面AB∥面MNP，

∴AB∥面MNP．

②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO?面MNP，

∴AB与面MNP不平行．

③易知AB∥MP，

∴AB∥面MNP．

④易知存在一直线MC∥AB，且MC?平面MNP，

∴AB与面MNP不平行．

故答案为：①③



点评：

本题考查直线与平面平行的判定，是基础题．



15如图，在长方形
中，
，
，为
的中点，为线段
（端点除外）上一动点．现将
沿
折起，使平面
平面
．在平面
内过点作
，为垂足．设
，则的取值范围是 ．

答案：

【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，
，随着F点到C点时，因
平面
，即有
，对于
，又
，因此有
，则有
，因此的取值范围是

三.解答题：（共计75分）

　17．（13分一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．

考点：

直线的截距式方程．



专题：

计算题．



分析：

设直线方程为
，则
，解得a、b的值，即得此直线的方程．



解答：

解：设直线方程为
，则
，解得
或
．

∴直线方程为 2x﹣5y﹣10=0或8x﹣5y+20=0．



点评：

本题主要考查用截距式求直线方程的方法，属于基础题．



18．（13分）（1）略（2）体积
（3）略

19．（13分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．

（1）试用x表示圆柱的体积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．

考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．



专题：

计算题；空间位置关系与距离．



分析：

（1）根据圆锥的底面半径为2、高为6，可得内接圆柱的半径为x时，它的高h=6﹣3x，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；

（2）由（1）可得圆柱的侧面积S侧=6π（2x﹣x2），结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．



解答：

解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，

∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x

因此，内接圆柱的高 h=6﹣3x；

∴圆柱的体积V=πx2（6﹣3x） （0＜x＜2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（2）由（1）得，圆柱的侧面积为

S侧=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2） （0＜x＜2）

令t=2x﹣x2，当x=1时tmax=1．可得当x=1时，（ S侧）max=6π

∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）



点评：

本题给出特殊圆锥，求它的内接圆锥的侧面积的最大值，着重考查了圆柱的体积、侧面积公式和旋转体的内接外切等知识点，属于基础题．



　

20．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；

（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．

考点：

直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．



专题：

计算题；证明题．



分析：

（1）先证明AE⊥BC，再证AE⊥BF，由线面垂直的判定定理证明结论．

（2）利用F、G为边长的中点证明FG∥AE，由线面平行的判定定理证明结论．

（3）运用等体积法，先证FG⊥平面BCF，把原来的三棱锥的底换成面BCF，则高就是FG，代入体积公式求三棱锥的体积．



解答：

解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF

∴AE⊥平面BCE．（4分）

（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，

∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）

在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）

（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，

∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）

∵G是AC中点，∴F是CE中点，且
，

∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，
．

∴
，（12分）∴
（14分）



点评：

本题考查线面平行与垂直的证明方法，利用等体积法求三棱锥的体积．



　

21．(2013湖北本小题满分12分）

如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为
．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为
，
，且
. 过
，
的中点
，且与直线
平行的平面截多面体