一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卷相应位置。）

1 ．三个互不重合的平面能把空间分成部分，则所有可能值为 （ 　）

A．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8

2.若m≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为 （ ）

A.1 B.-3 C.
D.-

3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）

A.＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋

4.直线l经过A（2，1）、B（1，m 2）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ）

A．
????? B．
?????? ? C．
????????????D．

5．某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积

中最大的是 （ ）

A．8

B． 10

C．6

D．8

6．设
是两条直线，
是两个平面，下列能推出
的是 ( )

A．
　　B．

C．
　 D．

7.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )

A．(x－5)2+(y+7)2=25 B．(x－5)2+(y+7)2=17或(x－5)2+(y+7)2=15

C．(x－5)2+(y+7)2=9 D．(x－5)2+(y+7) 2=25或(x－5)2+(y+7)2=9

8．一个正方体的展开图如右图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）

A.
B.

C. AB与CD所成的角为
D. AB与CD相交

9.一束光线从点A(-1，1)出发经X轴反射到圆C：
上的最短路程是 （ ）

A. 4 B. 5 C.
D.

10、如右图，在棱长为4的正方体
中，E、F分别是AD,
，的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面
上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角A—
一
所围成的几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分共25分，把答案填写在答题卷相应题号的横线上．）

11.在空间直角坐标系下,点A(x2+4，4－y，1＋2z)关于y轴的对称点是B(－4x，9，7－z)，则x，y，z的值依次是 ;

12.已知M={(x,y)|x2+y2=1,0

13.直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 ;

14.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为
，
，
，则

15.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为
，点
在线段OA上（异于端点），设
均为非零实数，直线
分别交
于点E，F，一同学已正确算出
的方程：
，请你求OF的方程：

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分13分）在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线MN的方程．

17．（本小题满分13分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CD⊥AB．

（I）求证EFGH为矩形；

（II）点E在什么位置，SEFGH最大?

18.（本小题满分13分）.已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，

（1）求k、b的值；

（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数.

19 （本小题满分12分）如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.

（1）求证:AF∥平面PCE;

（2）若二面角P—CD—B为45°,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离;

（3）在（2）的条件下,求PC与底面所成角的余弦值。

20.（本小题满分12分）.如图，在三棱柱
中，
侧面
，已知

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）试在棱
（不包含端点
上确定一点的位置,使得
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若
，求二面角
的平面角的正切值.

21（本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，已知圆
和圆
.

（1）若直线
过点
，且被圆
截得的弦长为
，求直线
的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线
和
，它们分别与圆
和圆
相交，且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

高2015级高二(上)中期考试理科数学试题(答案)

（时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卷相应空格内。）

1．三个互不重合的平面能把空间分成部分，则所有可能值为 （　B　）

A．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8

2.若m≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为 （ D ）

A.1 B.-3 C.
D.-

3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ D ）

A.＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋

4.直线l经过A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（D）

A．
????? B．
?????? ? C．
????????????D．

5．某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积

中最大的是 （ B）

A． 8

B． 10

C．6

D．8

6．设
是两条直线，
是两个平面，下列能推出
的是( C )

A．
　　B．

C．
　 D．

6.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( D )

A．(x－5)2+(y+7)2=25 B．(x－5)2+(y+7)2=17或(x－5)2+(y+7)2=15

C．(x－5)2+(y+7)2=9 D．(x－5)2+(y+7)2=25或(x－5)2+(y+7)2=9

8．一个正方体的展开图如右图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ C ）

A.
B.

C. AB与CD所成的角为
D. AB与CD相交

9.一束光线从点A(-1，1)出发经X轴反射到圆C：
上的最短路程是 （ A ）

A. 4 B. 5 C.
D.

10、如图，在棱长为4的正方体
中，E、F分别是AD,
，的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面
上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角A—
一
所围成的几何体的体积为（ C ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分共25分，把答案填在答题卷相应题号的横线上．）

11.在空间直角坐标系下,点A(x2+4，4－y，1＋2z)关于y轴的对称点是B(－4x，9，7－z)，则x，y，z的值依次 2，－5，－8

12.已知M={(x,y)|x2+y2=1,0

13.直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为2x－3y＝0或x＋y＋5＝0

14.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为
，
，
，则

15.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为
，点
在线段OA上（异于端点），设
均为非零实数，直线
分别交
于点E，F，一同学已正确算出
的方程：
，请你求OF的方程：
.

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16．.（本小题满分13分）在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线MN的方程．

．解　(1)设C(x0，y0)，则AC中点M，

BC中点N.

∵M在y轴上，∴＝0，x0＝－5.

∵N在x轴上，∴＝0，y0＝－3，即C(－5，－3)．

(2)∵M，N(1,0)．

∴直线MN的方程为＋＝1.

即5x－2y－5＝0.

18（本小题满分13分）.已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，

（1）求k、b的值；

（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数.

解 （1）圆x2+y2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20.

∵圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，

∴y=kx+b为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线.

∴
×k=-1，k=2. 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），∴1=2×(-2)+b，b=5.∴k=2，b=5.

（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=
.

而圆的半径为2
，∴∠AOB=120°.

???????

(3)解:∵PA⊥平面ABCD,

∴AC是PC在底面上的射影.?? ∴∠PCA就是PC与底面所成的角.

由(2)知PA=2,PC=
,?? ∴sin∠PCA=
=
,

即PC与底面所成的角余弦值cos∠PCA==
,??????????????????????????????

20（本小题满分12分）.如图，在三棱柱
中，
侧面
，已知

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）试在棱
（不包含端点
上确定一点的位置,使得
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若
，求二面角
的平面角的正切值.

证（Ⅰ）因为
侧面
，故

在
中，

由余弦定理有

故有

而
且
平面

（Ⅱ）由

从而
且
故

不妨设
，则
，则

又
则

在
中有
从而
（舍去）

故为
的中点时，

法二：以为原点
为
轴，设
，

则

由
得

即

化简整理得

或

当
时与
重合不满足题意

当
时为
的中点

故为
的中点使

法二：由已知
， 所以二面角
的平面角的大小为向量
与
的夹角

因为

故

21（本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，已知圆
和圆
.

（1）若直线
过点
，且被圆
截得的弦长为
，求直线
的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线
和
，它们分别与圆
和圆
相交，且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力

(1)设直线
的方程为：
，即

由垂径定理，得：圆心
到直线
的距离
，

结合点到直线距离公式，得：

化简得：

求直线
的方程为：
或
，

即
或

(2) 设点P坐标为
，直线
、
的方程分别为：

，即：

因为直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得圆心
到直线
与
直线
的距离相等。

故有：
，

化简得：

关于
的方程有无穷多解，有：

解之得：点P坐标为
或
。