芗城中学2012-2013学年高二上学期期末数学理试题

一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）

1.已知i为虚数单位，则复数i(i-1)对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[

2. 两个非零向量的模相等是这两个向量相等的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（　 　）

A.
　 B.
　 C.
　 D.

4. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A.
B.
C.
D.

5.一只田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21人的样本，则抽取男运动员的人数为（ ）

A.24 B.8 C.10 D.12

6. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）

A．75° B．60° C．45° D．30°

8. 已知点B是点A（3，4，-2）在xOy平面上的射影，则
等于( )

A. （3，4，0） B.
C. 5 D.

9. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）

A．75° B．60° C．45° D．30°10. 已知方程
和
(其中
,
)，它们所表示的曲线可能是（ ）

11. 设椭圆
和
轴正方向交点为A，和
轴正方向的交点为B，Ｐ为第一象限内椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（Ｏ为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（　 　）

A．
　　B．
　　C．
　　D．

12. 动点
到两定点
,
连线的斜率的乘积为
（
）,则动点P在以下哪些曲线上（ ）（写出所有可能的序号）

① 直线 ② 椭圆 ③ 双曲线 ④ 抛物线 ⑤ 圆

A．①⑤ B．③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

二．填空题（共4小题，每题4分，共16分）

13.命题“
”的否定是_________

14. 已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是___________（
）

15. 已知A(4,1,3)、B(2,－5,1),C为线段AB上一点, 且
, 则C的坐标为_____________

16. 已知双曲线
的左焦点为
，点
为双曲线右支上一点，且
与圆
相切于点
，
为线段
的中点，
为坐标原点，则
=

三．解答题（共6题，前5题每题12分，最后一题14分）

17. 已知a＞0，a≠1，设p：函数
内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点.如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围

18. 从甲、乙两个班中各随机的抽取6名学生，他们的数学成绩如下：

甲班

76

74

82

96

66

76



乙班

86

84

62

76

78

92





(I)画出茎叶图并求出甲班学生的数学成绩的中位数；

(II)若不低于80分则表示该生数学成绩为优秀。现从甲、乙两班中各抽出1名学生参加数学兴趣小组，求这两名学生的数学成绩恰好都优秀的概率。

19. 已知椭圆
的焦点为
，且过点
．

(Ⅰ)　求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设直线
交椭圆
于
两点，求线段
的中点
坐标

20. 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a, b．

（1）求直线ax＋by＋5=0与圆
相切的概率；

（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形（含等边三角形）的概率．

21. 如图，已知三棱锥
的侧棱
两两垂直，且
，
，
是
的中点．

（1）求异面直线
与
所成的角的余弦值

（2）求二面角
的余弦值

（3）
点到面
的距离

22. 已知椭圆
经过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0）

（1）当
时，判断直线l与椭圆的位置关系；

（2）当
时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值；

（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证：

直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

选择题

二．填空题

17. 解：当0＜a＜1时，函数
在(0，＋
)内单调递减.

当a＞1时，
在(0，＋
)内不是单调递减函数.

∴0＜a＜1 （3分）

曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4＞0，即
或
. （6分）

若p真q假，则
(0，1)
{
,1


1，
]}=
,1
.（9分）

若p假q真，注意到已知a＞0，a≠1，所以有

(1,＋
)
{(0，

（
，＋
）
=（
，＋
） (11分)

综上可知，

,1

（
，＋
）. （12分）

18.

甲班 乙班

6 6 2

6 4 6 7 6 8

2 8 6 4 ………………… 5分

6 9 2

甲班学生的数学成绩的中位数是76 ……………… 6分

∴这两名学生的数学成绩都优秀的概率是
………………… 12分

19.

20.

（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．

∵直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的充要条件是

即：a2＋b2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝

∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5；或a=4,b=3,c=5两种情况．

∴直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是

（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．

∵三角形的一边长为5∴当a=1时，b=5，（1，5，5） 1种

当a=2时，b=5，（2，5，5） 1种

当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种

当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种

当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5， 2，5），（5，3，5），

（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种

当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种

故满足条件的不同情况共有14种答：三条线段能
围成不同的等腰三角形的概率为
．

21.

解:.

以
为原点,
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系.

则有
、
、
、

<
>
……4分

(3)设平面
的法向量为
则由
知:

由
知:
取

由(1)
知平面
的法向量为

则
<
>
.

结合图形可知,二面角
的余弦值为
.………8分

设平面
的法向量为

则由

由

，则点
到面
的距离为
………12分

22.

离
. …
…7分