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仙游一中2012-2013学年下学期第二次月考

高二数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

参考数据和公式：2×2列联表
公式：
，
的临界值表：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



一、选择题（每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 抛掷3枚质地均匀的硬币，A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上}，

则A与B关系是 （C ）

A . 互斥事件 B.对立事件 C. 相互独立事件 D .不相互独立事件

2.已知随机变量
～
，
，则
的值是（B）

A．8 　 B．10 C．12 D．14

3.若复数
(
是虚数单位)，则（D ）

A．
B．
C．
D．

4．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是 (　B　)．

A. B. C. D.

5.如图的倒三角形数阵满足：（1）第
行的，
个数，分别

是
，
，
，…，
；（2）从第二行起，各行中的

每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有
行．

问：当
时，第
行的第
个数是（A ）

A．
B．
C．
D．

6. 已知函数
在（1，4）上是减函数，则实数
的取值范围是(C )

A．
B．
C．
D．

7.设
，
，
，则
的大小关系为 (A)

A．
B．
C．
D．

8.已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n =1,2,…,1000时,P(k)成立,且当
时它

也成立,下列判断中,正确的是 ( D )

A.P(k)对k=2013成立 B.P(k)对每一个自然数k成立

C.P(k)对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立

9.已知
为自然对数的底数，设函数
，则(B)

A. 当
时，
在
处取得极小值 B. 当
时，
在
处取得极小值

C. 当
时，
在
处取得极大值 D.当
时，
在
处取得极大值

10.如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，现有4种不同颜色将它染色,使相邻三角形均不同色,求使△AOB与△COD 同色且△BOC与△AOD 也同色的概率（C ）

A
B
C
D

二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)

11.在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～
且知满分为150分，这个班的学生共56人，求这个班在这次数学考试中130分以上的人数大约是 9

12、
= _______1 ______.

13. 某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选选3人参加学校的义务劳动。设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P（B︱A）=______
.

14. 计算
，可以采用以下方法：

构造恒等式
，两边对x求导，得
，在上式中令
，得
．

类比上述计算方法，计算

　 ．

15．下列命题：①若
存在导函数，则
；

②若函数
，则
；

③若函数
，则
；

④函数
的单调递增区间是

其中真命题为__③_④_____．(填序号)

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分13分）

已知
展开式中偶数项二项式系数的和比
展开式的各项系数和大112。

求n;

在（1）的条件下，求
展开式中系数最大的项；

（3）求
展开式中的所有的有理项。

16解：（1）
；

n=4 ……………3分

(2 )

从而
展开式中系数最大的项是：
……6分

（3）设 有理项为第r+1项，则

令

……10分

即

所以第2项，第5项，第8项为有理项，它们分别是：

；
；
……13分

17. （本小题满分13分）

“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性

女性

合计



反感

10







不反感



8





合计





30



已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是
.

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？

(Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望.（提示：可参考试卷第一页的公式.）

解：（Ⅰ）

男性

女性

合计



反感

10

6

16



不反感

6

8

14



合计

16

14

30



……………3分

设
：反感“中国式过马路 ”与性别与否无关

由已知数据得：
，

所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ………6分

（Ⅱ）
的可能取值为

……9分

所以
的分布列为：

0

1

2














的数学期望为：
……………13分

18．（本小题满分13分）

已知函数
在
与
时都取得极值

(1)求
的值与函数
的单调区间

(2)若对
，不等式
恒成立，求
的取值范围。

（2）
，当
时，

为极大值，而
，则
为最大值，要使

恒成立，则只需要
，得
。

19．（本小题满分13分）

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以
表示笼内还剩下的果蝇的只数．

（Ⅰ）写出
的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望
；

（Ⅲ）求概率
．

本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．

解：（Ⅰ）
的分布列为：

0

1

2

3

4

5

6























（Ⅱ）数学期望为
．

（Ⅲ）所求的概率为
．

20. （本小题满分14分，每小题7分）

已知大于1的正数
满足

（1）求证：

（2）求
的最小值。

证明：（1）由柯西不等式得：

得：

（2）

由柯西不等式得：
，所以，

得

所以，
当且仅当
时，等号成立。故所求的最小值是3。

21（本小题满分14分）

已知函数
在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），
，m∈R．

（1）求θ的值；

（2）若
在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

（3）设
，若在[1，e]上至少存在一个
，使得
成立，求
的取值范围．

【答案】（1）由题意，
≥0在
上恒成立，即
．

∵θ∈（0，π），∴
．故
在
上恒成立，…………2分

只须
，即
，只有
．结合θ∈（0，π），得
．…3分

（2）由（1），得

．
．…4分

∵
在其定义域内为单调函数，

∴
或者
在[1，＋∞）恒成立．……5分

等价于
，即
，

而
，（
）max=1，∴
．…………7分

等价于
，即
在[1，＋∞）恒成立，

而
∈（0，1]，
．

综上，m的取值范围是
．…………9分

（3）构造
，
．

当
时，
，
，
，所以在[1，e]上不存在一个
，使得
成立． ……………11分

当
时，
．…………12分

因为
，所以
，
，所以
在
恒成立．

故
在
上单调递增，
，只要
，

解得
．

故
的取值范围是
．…………14分