江西省师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学四校

2012-2013学年高二下学期期末联考 数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，集合
则
= （ ）

A．
B．
　　 C.
　　D．

2．设
为虚数单位，若复数
为纯虚数，则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D.

4．设数列
的前
项和为
，已知首项

，且对任意正整数
都有
，若
恒成立，则实数
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知
为锐角三角形，若角
终边上一点
的坐标为（
），则
=

的值为 （ 　）

A．
B．
C．
D．与
的大小有关

6． 给出下列四个命题：

①已知函数
则
的图像关于直线
对称；

②平面内的动点
到点
和到直线
的距离相等，则点
的轨迹是抛物线；

③若向量
满足
则
与
的夹角为钝角；

存在
使得
成立，其中正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．已知点
是曲线
上的任意一点，直线
与双曲线
的渐近线交于
两点，

若

为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 若平面直角坐标系中两点
与
满足：
、
分别在函数
的图像上；
与
关于点（
）对称，则称点对（
）是一个“相望点对”（规定：（
）与（
）是同一个“相望点对”），函数
与
的图像中“相望点对”的个数是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．2

9. 已知函数
，

设

且函数
的零点在区间
或
内，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.在函数
的图像与
轴所围成的图形中，直线
从点
向右平行移动至
，
在移动过程中扫过平面图形（图中阴影部分）的面积为
，则
关于
的函数
的图像可表示为（ ）

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11．“求方程
的解”有如下解题思路：设
，因为
在
上单调递减，且
所以原方程有唯一解为
类比上述解题思路，不等式
的解集为 .

12．随机输入整数
执行如右图所示的程序框图， 则输出的
不小于39的概率为 .

13．已知点
是面积为1的
内一点（不含边界），若

的面积分别为
则
的最小值为 .

14. 若数列
满足：
，

则称数列
为“正弦数列”，现将
这五个数排成一个“正弦数列”，所有排列种数记为
，则二项式
的展开式中含
项的系数为 ．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，按第一题评阅计分，本题共5分.

15.（1）（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴，并取相等

的长度单位建立极坐标系，若直线
与曲线
(
为参数)相交于
两点，则线段
长度为_________.

（2）（不等式选做题）若存在实数
，使不等式
成立,则实数
的取值范围为_________.

四、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在
中，三个内角
所对的边分别为
，满足
．

（1）求角
的大小；

（2）求
的最大值，并求取得最大值时角
的大小．

17.（本小题满分12分）

某中学为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的消防工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得10分，连错一条得-5分，某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来.

(1)求该参赛者恰好连对一条的概率；

(2)设
为该参赛者此题的得分，求
的分布列与数学期望.

18.（本小题满分12分）

如图所示，在边长为3的等边
中，点
分别是边
上的点，且满足
现将
沿
折起到
的位置，使二面角
成直二面角，连结
.

（1）求证：
；

（2）在线段
上是否存在点
，使直线
与平面
所成的角为
？

若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分12分）

已知数列
具有性质：
为整数；对于任意的正整数
当
为偶数时，
当
为奇数时，
．

（1）若
为偶数，且
成等差数列，求
的值；

（2）若
为正整数，求证：当
时，都有
．

20.（本小题满分13分）

定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以
为半径的圆
为椭圆
的“准圆”.已知椭圆
的离心率为
，直线
与椭圆
的“准圆”相切.

求椭圆
的方程；

设点
是椭圆
的“准圆”上的一个动点，过动点
作斜率存在且不为
的两条不同的直线
， 使得
，
与椭圆都相切，试判断
与
是否垂直？并说明理由.

21.（本小题满分14分）

已知函数
，
，设

求函数
的单调区间；

若以函数
图像上任一点
为切点的切线斜率为
恒成立，求实数
的取值范围；

当
时，对任意的
，且
，已知存在
使得
，求证：

参考答案

1-5 CDBBC 6-10 CACBD

（9分）

当
即
时，
的最大值为
，此时

的最大值为
，取得最大值时，
（12分）

17、解：（1）
（4分）

的分布列为
























（10分）

（12分）

18、解：（1）
等边三角形ABC的边长为3，且
，
在
中，
，由余弦定理得
，

，折叠后有
（3分）

二面角
为直二面角，
平面

平面

又
平面

平面

，
平面
，

平面
（5分）

（2）假设在线段
上存在点
，使得直线
与平面
所成的角为
由（1）证明，

可知
，
，以
为坐标原 点，以射线
分别为
轴，
轴，
轴的正半轴，建立空间直角坐标系
，如图过点
作
，垂足为
，连接

设
，则