衡水市第十四中学2012-2013学年高二下学期期末考试

数学（文）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

知U＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则

CU(A∪B)等于（ ）

A．{6,8} B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}

2、已知
是虚数单位，则复数
的模为（ ）

A.1 B.2 C.
D.5

3、下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

4、设
是等差数列
的前
项和，若
，则
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

5、 过原点的直线与圆
有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 （ ）

A.
B.

C.
D.

6、已知
，则
的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7、已知
是平面，
是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是( )

( 1 )若
,则

( 2 )若
,则

( 3 )如果
是异面直线,那么
与
相交

( 4 )若
,且
,则
且
.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8、在
中，
,P是BN上的一点，若
,则实数
的值为（ ）

A.3 B. 1 C.
D.

9．阅读如下程序，若输出的结果为
，则在程序中横线 ? 处应填入语句为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角
的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

11、已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（5+x）= f（5–x），在[0,5]上有且只有f（1）=0，则
在[–2012,2012]上的零点个数为 ( )

A．808 B．806 C．805 D．804

12．函数
的图象大致形状是（ ）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为 .

14、若在不等式组
所确定的平面区域内任取一点
，则点
的坐标满足
的概率是 .

15、已知双曲线
（a＞0,b＞0）的一条渐近线与曲线
相切，则该双曲线的离心率等于 ．

16. 设函数f(x)=x-
,对任意
恒成立，则实数m的取值范围是

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在
中，
的对边分别为
，且
．

(1)求
的值；

(2)若
，
，求
和
．

18．（本题满分12分）

某公司生产A、B两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：

A

B



优等品

100

x



一般品

300

400





按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A类20个。

（Ⅰ）求x的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在B类中抽取一个容量为6个的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个优等品的概率。

19.（本题满分12分）

在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为
，且
，
．

（Ⅰ）求
与
；

（Ⅱ）设数列
满足
，求
的前
项和
．

20、（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥
中，四边形
为菱形，
为等边三角形，平面
平面
，且
，

为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求点E到平面PBC的距离.

21．(本小题满分12分)

如图，椭圆C：
的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不

过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．

22、（本小题满分12分）

设函数

。

（1）求函数
的最小值；

（2）设

，讨论函数
的单调性；

(3）斜率为
的直线与曲线
交于
,

两点，

求证：
。

衡水市第十四中学高二期末考试数学试卷（文）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

知U＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则

CU(A∪B)等于（A ）

A．{6,8} B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}

2、已知
是虚数单位，则复数
的模为（ C ）

A.1 B.2 C.
D.5

3、下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是（D ）

A.
B.
C.
D.

4、设
是等差数列
的前
项和，若
，则
等于 （ D ）

A.
B.
C.
D.

5、 过原点的直线与圆
有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 （ C ）

A.
B.

C.
D.

6、已知
，则
的值是（ A ）

A.
B.
C.
D.

7、已知
是平面，
是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是( B )

( 1 )若
,则

( 2 )若
,则

( 3 )如果
是异面直线,那么
与
相交

( 4 )若
,且
,则
且
.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8、在
中，
,P是BN上的一点，若
,则实数
的值为（ C ）

A.3 B. 1 C.
D.

9．阅读如下程序，若输出的结果为
，则在程序中横线 ? 处应填入语句为（ B ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角
的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ C ）

（A）
（B）
（C）
（D）

11、已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（5+x）= f（5–x），在[0,5]上有且只有f（1）=0，则
在[–2012,2012]上的零点个数为 (B )

A．808 B．806 C．805 D．804

12．函数
的图象大致形状是（ A ）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
.

14、若在不等式组
所确定的平面区域内任取一点
，则点
的坐标满足
的概率是
.

15、已知双曲线
（a＞0,b＞0）的一条渐近线与曲线
相切，则该双曲线的离心率等于
．

16. 设函数f(x)=x-
,对任意
恒成立，则实数m的取值范围是

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在
中，
的对边分别为
，且
．

(1)求
的值；

(2)若
，
，求
和
．

17.（1）由正弦定理得
，
，

又
，∴
，… 2分

即
，∴
，… 4分

∴
,又
，∴
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

(2）由
得
，又
，∴
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

由
，
可得
，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

∴
，即
，∴
．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

18．（本题满分12分）

某公司生产A、B两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：

按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A类20个。

（Ⅰ）求x的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在B类中抽取一个容量为6个的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个优等品的概率。

18、解析：（1）由
，解得
……4分

（2）法一：列举法

抽取容量为6的样本，则其中优等品为2个，一般品为4个，可设优等品为
，

一般品为
，

则从6个的样本中任抽2个的可能有
，
，
，
，
，
共15种，

至少有一个是优等品的可能有
，
，

共9种，

所以至少有一个优等品的概率是
……………………12分

19.（本题满分12分）

在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为
，且
，
．

（Ⅰ）求
与
；（Ⅱ）设数列
满足
，求
的前
项和
．

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设
的公差为
，

因为
所以
…………2分

解得
或
（舍），
． …………4分

故
，
． …………6分

20、（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥
中，四边形
为菱形，
为等边三角形，平面
平面
，且
，

为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求点E到平面PBC的距离.

20．解（1）证明：连接
，
，因为平面
平面
，
为等边三角形，
为
的中点，所以
平面
，
…… 2分

因为四边形
为菱形，且
，
为
的中点，所以
…… 4分

，所以
平面
，所以
…… 6分

（2）过E作

由（1）知
平面
，∵
∥
∴
平面

平面PBC⊥平面PBE,又 平面PBC∩平面PBE =PB,故
平面

…… 12分

21．(本小题满分12分)

如图，椭圆C：
的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．

21．解：(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得

得

所以椭圆方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.

当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为

y＝kx＋m(m≠0)，

由消去y，整理得

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①

则Δ＝64k2m2－4(3＋