第I卷（共60分）

一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

1.若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B”={4}的（ ）.

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2.已知
且
，则
是
的（ ）

A充分而不必要条件 B必要而不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

3.已知i为虚数单位，
，则复数对应的点位于

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

4.在
的展开式中，的幂指数是整数的项共有（ ）

A 3项 B 4项 C 5项 D 6项

5.如图的倒三角形数阵满足：（1）第行的，个数，分别

是，
，
，…，
；（2）从第二行起，各行中的

每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有行．

问：当
时，第
行的第
个数是（ ）

A
B
C
D

6.已知方程
的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线．一抛物线的离心率，则
的取值范围是（ ）

7.某班选派7人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（ ）

A、35种 B、50种 C、55种 D、70种

8.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0. 6，超过2年的概率为0.3，则某使用寿命超过1年的元件还能继续使用1年的概率为（ ）

A 0.9 B 0.6 C 0.5 D 0.3

9.已知点
是双曲线
的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆
交于点，且点在抛物线
上，则该双曲线的离心率是（ ）

A
B
C
D

10.点到图形
上每一个点的距离的最小值称为点到图形
的距离，那么平面内到定圆
的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）

A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 直线

11.已知
为定义在
上的可导函数，且
对于
恒成立（为自然对数的底），则( )

A
B

C
D
与
大小不确定

12.设
在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围是

( )

A [ -,+∞) B (-∞,-3] C [-, ] D (-∞,-3]∪[-,+∞)

第II 卷(共90分)

二、 填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．

13.已知某随机变量
的概率分布列如右表，其中
，随机变量
的方差
，

则
.

14.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于 ．

15.已知点在曲线
上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 。

16．抛物线
的焦点为，
在抛物线上，且
，弦
的中点
在其准线上的射影为，则
的最大值为 ___ .

三、解答题: 本大题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．

17.(本题满分10分) 已知命题p:“
”，

命题q:“
”若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.

18.（本小题满分12分）袋中有大小相同的
个编号为、、
的球，号球有个，号球有个，
号球有个．从袋中依次摸出个球，已知在第一次摸出
号球的前提下，再摸出一个号球的概率是
．

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）从袋中任意摸出个球，记得到小球的编号数之和为
，求随机变量
的分布列和数学期望
．

19.(本题满分12分) 已知函数
(a∈R).

(Ⅰ) 若函数f (x)在R上单调， 求a的值；

(Ⅱ)若函数f (x)在区间[0，2]上的最大值是5， 求a的取值范围.

20.(本题满分12分) 已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图(1)）及左视图（如图(2)），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。

(1)求证：AD⊥PB；

(2)求异面直线PD与AB所成角的余弦值；

(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小.

22.（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）若对任意
，不等式
恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若
，求证：

河南省偃师高中2012-2013学年高二下学期第二次月考

数学（理）试题答案

一、

二、

13.
14、
15.
16.

三、17.
提示： 由命题“p且q”是真命题可知命题p与命题q都成立.则有
，可解得

19. (Ⅰ) 解:

,

因为函数f (x)在R上单调, 所以
,

即a = 0. …………………(6分)

(Ⅱ) 解: 因为
,

所以
{f (x)}= max{ f (1) , f (2)}= max{3a2+3, 5}=5,

即 3a2+3 ≤ 5, 解此不等式, 得

,所以a的取值范围是
. ……(12分)

20.解：⑴取AB的中点O，连接PO，因为PA=PB，则PO⊥AB，

又∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO平面PAB，

∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，…………2分

而AD⊥AB，PO∩AB=O，

∴AD⊥平面PAB，

∴AD⊥PB。…………4分

21.（Ⅰ）设点
，则
的中点为

∴
∴
（3分）

∴直线的方程为：
． （4分）

（Ⅱ）假设在轴上存在点，使得
为等边三角形．设直线为
，则

∴

∴
（6分）

∴
中点为

∴
的中垂线为：
（8分）

∴点为
∴到直线的距离
（9分）

∵
（10分）

∴

∴
∴存在点为
． （12分）

（Ⅱ）由条件得
在
上恒成立．

设
，则
．

当 x∈(0,e)时，
；当
时，
，所以，
．

要使
恒成立，必须
．

另一方面，当
时，
，要使
恒成立，必须
．

所以，满足条件的的取值范围是
． ………………8分