福建省四地六校2012—2013学年度下学期第二次联考

高二数学理试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

参考数据和公式

2×2列联表
公式：
，
的临界值表：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828




，
，残差和公式为

★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．函数
在
处的导数等于

A．3 B．4 C．6 D．9

2．已知i为虚数单位，
，则复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知随机变量
～
，
，则
的值是

A．8 　 B．10 C．12 D．14

4．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为
是实数，所以
＞0”，你认为这个推理

A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的

5．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4个蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法种数为

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

6. 某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是

A. 甲科总体的标准差最小

B. 乙科总体的标准差及平均数都居中

C. 丙科总体的平均数最小

D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同

7．抛掷一颗骰子两次，定义随机变量
，随机变量
的方差

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

8．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为凸数，如254， 674等都是凸数，那么，各个数位上无重复数字的三位凸数有

Ａ．120个 Ｂ．204个 Ｃ．240个 Ｄ．360个

9．
展开式中不含
的项的系数 绝对值的和为
，不含
的项的系数绝对值的和为
，则
的值可能为

A．
B．

C．
D．

10．定义在区间[0，a]上的函数((x)的图像如右图所示，记以A(0，((0))，B(
，
)，

C(x，((x))为顶点的三角形面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S ′ (x)的图像大致是

二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)

11. 复数
的值是 ****** ．

12. 曲线
在点
处的切线方程为__******** _.

13. 函数
的图象与
轴所围成的封闭图形的面积等于****** .

14. 设由0、1组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则
= ****** .

15. 计算
，可以采用以下方法：

构造恒等式
，两边对x求导，得

，在上式中令
，得

．

类比上述计算方法，计算
******　 ．

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本题满分13分)

甲、乙两颗卫星同时独立的监测某一台风，在同一时段内，甲、乙预报台风准确的概率分别为
、
，在该时段内，求：

（I）甲、乙同时预报台风准确的概率；

（II）至少有一颗卫星预报台风准确的概率；

（III）若甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率.

17. (本题满分13分)

已知二项式
展开式中所有二项式系数之和为1024.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求展开式中
项的系数。

18. （本小题满分13分）

“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性

女性

合计



反感

10







不反感



8





合计





30



已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是
.

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？

(Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望.

提示：可参考试卷第一页的公式.

19. （本小题满分13分）

已知数列
的前
项和为
，且
（
）

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明．

20. （本小题满分14分）

已知某校5个学生的数学和物理成绩如下：

学生的编号

1

2

3

4

5



数学成绩

80

75

70

65

60



物理成绩

70

66

68

64

62





（I）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩是具有很强的线性相关关系的，在上述表格中，用
表示数学成绩，用
表示物理成绩，求
关于
的回归方程；

（II）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在
范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”.

提示：1、参考数据：
，

2、可参考试卷第一页的公式.

21. （本小题满分14分）

已知函数

（I）求
的单调区间；

（II）若不等式
在

内恒成立，求实数
的取值范围；

（III）
，求证：

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

B

A

C

A

C

B

B

D



11、i 12、y=2x+1 13、
14、
15、

16、解：记“甲预报台风准确”为事件A，“乙预报台风准确”为事件B ，则

,
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分

（1）P（A·B）=P（A）·P （B）=0.8×0.75=
┅┅┅┅┅┅5分

（2）P=1- P（
·
）=1- P（
）·P（
）=1-0.2×0.25=
┅┅┅9分

（3）P=
3× 0.83×0.21=
┅┅┅┅┅┅┅┅13分

17、解：（Ⅰ）依题意得，
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分

即，得
。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分

（Ⅱ）设第k+1项为
…………8分

令
，解得
， …………………10分

∴展开式中含
项的系数为
…………………13分

18.解：（Ⅰ）

男性

女性

合计



反感

10

6

16



不反感

6

8

14



合计

16

14

30



……………3分

设
：反感“中国式过马路 ”与性别与否无关

由已知数据得：
，

所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ………6分

（Ⅱ）
的可能取值为

……9分

所以
的分布列为：

0

1

2














的数学期望为：
……………13分

19.解：（Ⅰ）当n=1，
…………………………………………………1分

当
，……………3分

同理可得
……………………………………………………5分

（Ⅱ）猜想
…………………………………………………………7分

下面用数学归纳法证明：

ⅰ）当
时
，猜想成立 ……………………………8分

ⅱ）假设当
时猜想成立，即

那么当
时，

，

∴

∴

解得

即
时猜想成立 …………………………………………………12分

综上ⅰ）ⅱ）
对一切
都成立． ………………………………13分

20.解：（1）由已知数据得，
，
，
，
，

故回归直线方程为
…………………………………6分

（2）由
，可知
，

同理可得
，
，
，
，

所以
=0∈
，

故该回归方程是“优拟方程”. …………………………………13分

21. 解 ：（I）

---------------4分

（II）
即
成立

①若
时，
在（0，1)小于0，Q（x)
递减；
在（1，+
)大于0，Q（x)
递增

∴
，解得
，又
，故

②若
时，
解得
或
，列表如下







1







＋

0

－

0

＋





增



减



增



又
，故不满足要求

③若
时，
解得
或
，列表如下



1











＋

0

－

0

＋





增



减



增



同理
，故也不满足要求

综合上述，要使不等式
在

内恒成立，则实数
的取值范围为
-------------------10分

（III）由（II）知当
时，

即
（
取等号）

当
时，

令
，则有
，
，
，…，

相加得

-------------------14分

（本题若用数学归纳法证得也可得到相应的分数）