考试范围：高二全部教学内容

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数
，那么
对应的点位于复平面内的（▲）[来源:学|科|网Z|X|X|K]

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．下列四个命题：①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2 ②若-2≤x<3,则（x+2）(x-3)≤0 ③若x=y=0,则x2+y2=0 ④若x、y∈N*,x+y是奇数，则x、y中一个是奇数，一个是偶数.那么（▲）

A.①的逆命题真 B.②的否命题真

C.③的逆否命题假 D.④的逆命题假

3．若某多面体的三视图如图所示, 则此多面体外接球的表面积[来源:学科网]

是 （▲）

A．
B．
C．
D．

4． 已知
为椭圆
（
）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若
的周长为16，椭圆的离心率
，则椭圆的方程为(▲)

A．
B．
C．
D．

5．已知直线
、
与平面
、
、
满足
,
，
和
，那么必定有（▲）

A．
，且
B．
，且

C．
，且
D．
，且

6．设
,函数
的导函数是
,且
是奇函数.若曲线
的一条切线的斜率是
,则切点的横坐标为(▲)

A.
B.
C.
D.

7．已知圆柱的底面半径为2，高为3，用一个平面去截，若所截得的截面为椭圆，则椭圆的离心率的取值范围为(▲)

A．
B．（0，
C．
D．（0，

8．有6个人站成前后对齐两排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为（▲）

A．240 B．384
C．480 D．768

9．过双曲线
的左顶点
作斜率为1的直线
,若
与双曲线
的两条渐近线分别相交于
、
，且
, 则双曲线M的离心率是(▲)[来源:Z+xx+k.Com]

A．
B．
C．

D．

10．已知
，
在
处取得最大值
，以下各式中正确的序号为(▲)

①
②
③
④
⑤

A． ①④ B. ②④ C. ②⑤ D. ③⑤

二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分. 请将答案填在答题卷中的横线上.

11．
_▲_．

12．观察式子
，
，
，则可以归纳出
▲_．

13．已知正三棱柱
底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面AB
C成
角的截面面积是▲ ．

14. 若
，则
的值为 ▲ ．

15．已知点
是圆
上一动点，过
作
轴、
轴的垂线，垂足分别为
、
，则在线段
上，且满足
的点
的轨迹方程是 ▲ .[来源:Zxxk.Com]

16．在
这
个自然数中，任取
个数．设
为这
个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为
，则有两组相邻的数
和
，此时
的值是
）．随机变量
的数学期望
= ▲ ．

17．给出下列四个命题：

①函数f（x）＝lnx－2＋x在区间（1 , e）上存在零点；

②若m≥－1，则函数
的值域为R；

③若
，则函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值；

④“a =1”是“函数
在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．

其中正确的是 ▲ ．

三、解答题（本题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

18．已知命题
：
； 命题
：双曲线
的离心率
，若
为真，求实数
的取值范围.

[来源:学_科_网]

19．如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是菱形，
，
，E是PB上任意一点 .

（I）求证： AC⊥DE；

（II）已知二面角
的余弦值为
，若
为
的中点，求
与平面
所成角的正弦值 .

20. 已知抛物线
的顶点是椭圆
的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.

(1)求抛物线
的方程;

(2)已知动直线
过点
,交抛物线
于
、
两点.

若直线
的斜率为1,求
的长;

是否存在垂直于
轴的直线
被以
为直径的圆
所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出
的方程；如果不存在，说明理由.

21.已知函数
.（
为常数,
）

（Ⅰ）若
是函数
的一个极值点，求
的值；

（Ⅱ）求证：当
时，
在
上是增函数；

（Ⅲ）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求实数
的取值范围.

杭西高2013年6月高二数学试卷（理科）

考试范围：高二全部教学内容

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

4． 已知
为椭圆
（
）的两个焦点，过F2作椭圆
的弦AB，若
的周长为16，椭圆的离心率
，则椭圆的方程为( C )

A．
B．
C．
D．

8．有6个人站成前后对齐
两排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为（ B ）

A．240 B．384 C．480 D．768

9．过双曲线
的左顶点
作斜率为1的直线
,若
与双曲线
的两条渐近线分别相交于
、
，且
, 则双曲线M的离心率是( A )

A．
B．
C．
D．

10．已知
，
在
处取得最大值，以下各式中正确的序号为( B )

①
②
③
④
⑤

A． ①④ B. ②④ C. ②⑤ D. ③⑤

二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分. 请将答案填在答题卷中的横线上.

17．给出下列四个命题：

①函数f（x）＝lnx－2＋x在区间（1 , e）上存在零点；

②若m≥－1，则函数
的值域为R；

③若
，则函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值；

④“a =1”是“函数
在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。

其中正确的是 ①②④ 。

三、解答题（本题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤.）

1
9．如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是菱形，
，
，E是PB上任意一点 .

（I
）求证： AC⊥DE；

（II）已知二面角
的余弦值为
，若
为
的中点，求
与平面
所成角的正弦值 .

19. (1)证明：∵
平面
，
平面

∴

又∵
是菱形 ∴

∴
平面
∵
平面

∴
…………4分

（2）分别以
方向为
轴建立空间直角坐标系，设
，则

由（1）知：平面
的法向量为
，令平面PAB的法向量为
，

则根据
得
∴

因为二面角A-PB-D的余弦值为
，则
，即

………………7分

∴

设EC与平面PAB所成的角为
，∵
，
则

………………10分

=
=

当
时,
,此时直线
被以
为直径的圆
所截得的弦长恒为定值
.

因此存在直线
满足题意 …………10分

21.已知函数
.（
为常数,
）

（Ⅰ）若
是函数
的一个极值点，求
的值；

（Ⅱ）求证：当
时，
在
上是增函数；

（Ⅲ）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求实数
的取值范围.

（Ⅲ）
时，由（Ⅱ）知，
在
上的最大值为
，

于是问题等价于：对任意的
，不等式
恒成立.

记
，（
）则
，

当
时，
，

在区间
上递减，此时，
，

由于
，

时不可能使
恒成立，故必有
,
.

若
，可知
在区间
上递减，在此区间上，有
，与
恒成立矛盾，故
，这时，
，
在
上递增，恒有
，