成都七中实验学校高2014届高二（下）五月份月考

数 学

命题人：周建波 审题人：黄红梅 夏祖凤

（考试时间：5月30日 总分：150分 120分钟完卷）

第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）

一．选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）

1．若全集
，集合
，则
等于（ ）

2．函数
的定义域是（ ）

3．在等差数列
中，
，那么
的值为（ ）

4．函数
在以下哪个区间内一定有零点（ ）

5．已知
，则
的值为（ 　）

－



－1

6．一种机器零件的上
半部分是半球，下半部分是圆锥，其三视图如图所示，

则该型号蛋糕的表面积
为（　　）

7．已知
，则“
”是“
”的（ 　
）

充分不
必
要条件　
必要不充分条件　　
充要条件　　　
既不充分也不必要条件

8．双曲线虚轴上的一个端点为
,两个焦点为
、
，
，则双曲线的离心率为（ ）

9．在正方体
中，若
是
的中点，则异面直线
所成角的大小为（　　）[来源:学+科+网Z+X+X+K]

10．曲线
的图象是抛物线
在第一象限的部分，过
上一点
作其切线
，
与

轴和直线
分别交于
、
两点，又点
，若△
的面积为
时的点
恰好有两个，则
的取值范围是（　
　）

第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）

二．填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11．某社区有6
00个家庭，其中高收入家庭有150户，中等收入家庭有360户，低收入家庭有90户.为调查购买力的某项指标，用分层抽样从该社区中抽取一个容量为100的样本，则应从中等收入家庭中抽取的户数为 ；

12．阅读如图所示的程序框图，则该程序框图输出的结果为_________；

13．设变量
满足约束条件
，则
的最小值等于 ；

14．【理科】定义
，设
在
内单调递减，则
的取值范围是 ；

【文科】函数
在
上单调递增，则
的取值范围是 ；

15．给出下列五个命题：

①函数
的定义域是
，则
的取值范围是

②一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是5；

③将函数
的图像向右平移
个单位，得到
的图像；

④命题“
，都有
”的否定是“
，使
”

⑤已知
，
，
，其中
是常数，且
的最小值是
，满足条件的点
是椭圆
一弦的中点，则此弦所在的直线方程为
．

其中真命题的序号为 ．

二．解答题（本题共5小题，第16～19题每题12分，第20题13分，第21题14分，共75分）

16．已知函数
,
是
的导函数，
．

（Ⅰ）若“
非零实数
，
，
”，求
的最小值；

（Ⅱ）求函数
的最小值和最大值以及取得最值时相应
的集合．

17．如图，在正四棱柱
中，
，
，
是
的中点．

（Ⅰ）求直线
和平面
所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角
的大小．

18．（Ⅰ）为配合七中实验“小升初”招生工作，学校拟成立一个由4名老师组成的“招生考试命题委员会”．经过初步筛选，2名男老师，4名女老师共6名老师成为候选人，每位候选人当选为委员的机会是相同的．求当选的4名老师中恰有1名男老师的概率；

（Ⅱ）若四边形
为长方形，

，
为
的中点，在长方形
内随机取一点，求取到的点到
的距离大于1的概率．

19．【理科】已知数列
的前
项和为
，且
，

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）已知数列
的通项公式
，记
，求数列
的前
项和
．

【文科】已知数列
的前
项和为
，点
是函数
图象上一点，

（Ⅰ）
数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，
为数列
的前
项和，若“
，
”，求整数
的最小值．

20. 已知函数
，
，直线
与函数
，
的图象都相切，且
与函数
的图象的切点的横坐标为
．

（Ⅰ）求直线
的方程及a的值；

（Ⅱ）设
，求
的单调区间和极值；

（Ⅲ）当
时，试讨论方程
的根的个数．

21．如图，已知圆
，和点
，
是圆
上任一点，直线
和线段
的垂直平分线交点
的轨迹为
，

（Ⅰ）求以原点
顶点，以
为焦点的抛物线方程；

（Ⅱ）过
作直线交轨迹
于
，
两点，满足
，那么这样的直线共有几条？

（Ⅲ）过
作直线交曲线
于
，
两点，以
为直径的圆过原点
，求该圆的面积．

成都七中实验学校高2014届高二（下）五月份月考

数 学 参
考 答 案

一、CADBC AABDC

二、11、60；12、1320；13、
；14、【理科】
；【文科】
；15、④⑤

（2）设A1D∩AE = F，连结CF．

因为CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥D
F，所以根据三垂线定理，得 AE⊥CF，

于是∠DFC是二面角C－AE－D的平面角．

在Rt△ADE中，由 AD · DE = AE · DF (
．w_w w. k#s5_u.c o*m

.

20、解：（1）抛物线

（2）连接
，易知
,由
, 知P的轨迹是以
，
为焦点的双曲线，易得P的轨迹方程是

易得通径长为6，知直线交与右支仅有一条，直线交与两支有两条，共3条这样的直线

（3）设过
的直线方程为
，与双曲线方程联立后可得

，因为直线和双曲线交于M，N两点，

那么由△ >0且
，得
。。。9分

设
，则
，

而以MN为直径，且过原点的圆，可得
,即
，

从而有
，得

所以
=1，
=

从而
=4

那
么所求圆的半径等于2，那么圆的面积为

21. 解：（1）

比较①和②的系数得
。

（2）
单增，
单减，极大值

（3）
[来源:学科网]



－1

(－1,0)

0

(0，1)

1







+

0

－

0

+[来源:学科网]

0

－





↗

极大值ln2

↘

极小值

↗

极大值ln2

↘



由函数
在R上各区间上的增减及极值情况，可得

（i）当
时有两个解；

（ii）当
时有3个解；

（iii）当
时有4个解

（iv）当k=ln2时有2个解；

（v）当
时无解