2013年5月

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

注意事项：[来源:学.科.网]

答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
的值是（ ）

A．

B．

C．

D．



2．双曲线
的渐近线方程为（ ）

A．

B．

C．

D．



3．已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为（ ）

A．1

B．

C．4

D．4或



4．如图，空间四
边形
中，
，
，
，点
在线段
上，且
，点
为
的中点，则
（ ）

A．

B．



C．

D．



5．已知
的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含
项的系数是（ ）

A．5

B．20

C．10

D．40



6．下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ）

①若
为真命题，则
为真命题．

②
的充分不必要条件是
．

③命题
，使得
，则
．

④命题＂若
，则
或
＂的逆否命题为＂若
或
，则
＂．

A．1

B．2

C．3

D．4



7．如图，
是直三棱柱，
为直角，

点
、
分别是
、
的中点，若
，

则
与
所成角的余弦值是（ ）

A．

B．

C．

D．



8．箱中有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第四次取球之
后停止的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．
[来源:Z|xx|k.Com]



9．椭圆
的左、右
焦点分别为
、
，若椭圆
上恰好有6个不同的点
，使得
为等腰三角形，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．





10
．函数
在区间
上的图像如图所示，则
、
的值可能是（ ）

A．
，

B．
，



C．
，

D．
，



第Ⅱ卷（非选择题，共60分）

填空题：本大题共5小题，每小题4分，共2
0分．

11．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次（每次罚球结果互不影响）的得分的数学期望是 ．

12．抛物线
上的两点
、
到焦点的距离之和是
，
则线段
的中点到
轴的距离是 ．

13．函数
在区
间
上的最大值与最小值分别为
、
，则
．

14．把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为 ．（用数字作答）

15．下列说法中，正确的有 ．

①若点
是抛物线
上一点，则该点到抛物线的焦点的距离是
；

②设
、
为双曲线
的两个焦点，
为双曲线上一动点，
，则
的面积为
；

③设定圆
上有一动点
，圆
内一定点

，
的垂直平分线与半径
的交点为点
，则
的轨
迹为一椭圆；

④设抛物线焦点到准线的距离为
，过抛物线焦点
的直线交抛物线于A、B两点，则
、
、
成等差数列．

解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．

16．甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
、
、
，且他们是否破译出密码互不影响，若三人中只有甲破译出密码的概率为
．

（1）求
的值．

（2）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为
，求
的分布列和数学期望
．

17．如图，矩形
中，
，
，
平面
，
，
，
为
的中点．

（1）求证：
平面
．

（2）若
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．

18．已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上．若椭圆上的点
到焦点
、
的距离之和等于4．

（
1）写出椭圆
的方程和焦点坐标．

（2）过点
的直线与椭圆交于两点
、
，当
的面积取得最大值时，求直线
的方程．

19．已知函数
．

(1)求
的单调区间；

(2)当
时，判断
和
的大小，并说明理由；

(3)求
证：当
时，关于
的方程：
在区间
上总有两个不同的解．

附加题：如图，已知椭圆
过点
，离心率为
，左、右焦点分别为
、
．点
为直线
上且不在
轴上的任意一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
、
和
、
，
为坐标原点．设直线
、
的斜率分别为
、
．

（i）证明：
；

（ii）问直线
上是否存在点
，使得直线
、
、
、
的斜率
、
、

、
满足
？若存在，求出所有满足条件的点
的坐标；若不存在，说明理由．

5月月考理科试题答案

[来源:Zxxk.Com]

17．（1）连接

，

四边形
为平行四边形

又
平面

平面
…………3分

（2）以
为原点，AB、AD、AP为x、y、z方向建立空间直角坐标系
．

易得
,则
、
、

…………5分

，
，

由此可求得平面
的法向量
…………7分

分

19．（1）

当
时可解得
，或

当
时可解得

所以函数
的单调递增区间为
，
，

单调递减区间为
…………3分

（2）当
时，因为
在
单调递增，所以

当
时，因为
在
单减，在
单增，
所能取得的最小值为
，
，
，
，所以当
时，
．

综上可知：当
时，
．　 …………7分

（3）
即

考虑函数
，

，
，

，代入
，
可得

…………6分

同理，联立
和椭圆方程，可得
.…………7分

由
及
（由（i）得）可解得
，或
，所以直线方程为
或
，

所以点
的坐标为
或
…………10分