汶上一中2012-2013学年高二下学期期中检测

数学（理）

选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每
小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)

1.设复数
(其中为虚数单位)，则
的虚部为( )

A．
B．
C．
D．

2．已知
为全集,
,
,则

是

A.
B.

C.
D.

3．设函数
，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是( )

A．2.1 B.0.21 C.1.21
D.12.1

4.在某一试验中事件A出现的概率为
，则在
次试验中
出现

次的概率为（ ）

A . 1－
B.
C. 1－
D.

5．已知方程
的四个根组成一个首项为的等差数列，则
等于( )

A．1 B． C． D．

6．函数f(x)=sinx+x在
上的最大值为( )

A．0 B.2 C.
D.

7.如图，
是平面
的斜线段，
为斜足。若点
在平面
内运动，

使得
的面积为定值，则动点
的轨迹是（ ）

A.圆 B.椭圆

C、一条直线 D.两条平行直线

8．函数f(x)的定义域为R，
，对任意x∈
，
，则f(x)>2x+4的解集为( )

A.（一1，1） B.（一1，
）

C.（一∞，一1） D.（一∞，+∞）

9.在
上可导的函数
的图形如图所示，

则关于
的不等式
的解集为（ ）

A.
B.

C.

D.

10.已知点
在曲线
上，
为曲线在点
处的切线的倾斜角，则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．给出以下四个说法：

①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每间隔
分钟抽取一件产品进行某项指标
的检测 ，这样的抽样是分层抽样；

②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数
的值越大，说明拟合的效果越好；

③在回归直线方程
中，当解释变量
每增加一个单位时，预报变
量
平均增加
个单位；

④对分类变量
与
，若它们的随机变量
的观测值
越小，则判断“
与
有关系”的把握程度越大．

其中正确的说法是( )

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③

12．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为
，则函数
在
上为增函数的概率

是( )

A．

B．
C．
D．

二、填空题：（每小题4分，共16分.）

13.
展开式中含
项的系数
等于 ．[来源:Zxxk.Com]

14. 已知随机变量
服从正态分布
，
，则

15. 将7个不同的小
球全部放入编号
为2 和3 的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有____________ 种(用数字作答) .

16．如图，

为区间
上的
等分点，直线
，
，
和曲线
所围成的区域为

，图中
个
矩形构成的阴影区域为
，在
中任取一
点，则该点取自
的概率等于 ________ ．

三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. （本小题满分10分）

已知矩阵

（1）求逆矩阵
；

(2) 求矩阵
的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.

1
8.（本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
，
.

(1)求证：数列
为等差数列，并分别写出
和
关于
的表达式；

(
2)设数列

的前
项和为
，证明：

[来源:Zxxk.Com]

19. （本小题满分12分）

口袋中
有大小、质地均相同的7个球，3个红球，4个黑球，现在从中任取3个球。

(1)求取出的球颜色相同的概率；

(2)若取出的红球数设为
，求随机变量
的分
布列和数学期望。

[来源:学科网]

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，短轴的一个端点到右焦点的距离为
，直线
交椭圆于不同的两点
。

（1）求椭圆的方程；

（2）若坐标原点
到直线
的距离为

，求
面积的最大值。[来源:Z§xx§
k.Com]

21.（本小题满分12分）[来源:Zxxk.Com]

已知函数
，其中
。

（1）若函数
有极值

，求
的值；

（2）若函数
在区间
上为增函数，求
的取值范围；

[来源:Zxxk.Com]

22. （本小题满分12分）

规定
，其中
，
为正整数，且
，这是排列数
(
是正整数，且
)的一种推广．[来
源:Z&xx&k.Com]

（1）求
的值；

（2）排列数的两个性质：①
，②
(其中
是正整数)．
是否都能推广到
(
，m是
正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；

（3）确定函数
的单调区间．

参考答案：

1-5 DBADC 6-10 DBBAD 11-12 DB

13． 32； 14． 0.4 ； 15． 91 ； 16．

17．解: （1）
zxxk

(2)矩阵
的特征多项式为
，

令
，解得
,

当
时，得
,当
时，得
.

18. (1)证明：由an＝＋2(n－1
)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)．

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，

∴数列{an}是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列。

于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N*)．

(2)证明：Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…
＋

＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]

＝(1－)＝<＝

又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝，于是，≤Tn<

19．解：（1）设“取出的球颜色相同”为事件

所以取出的球颜色相同的概率为

（2）
的可能取值为0，1，2，3

的分布列为

0

1

2

3



P













20．（1）由
，椭圆的方程为：

（2）由已知
，联立
和
，消去
，整理可得
：
，
[来源:学科网]

设
，则

，当且仅当
时取等号

显然
时，
。

21．（1）
，

①当
时，
，
单调递减，且无极值

②当
时，令
，得
，当
变化时，
与
的变化情况如下：


[来源:学科网]




[来源:学科网]




[来源:学科网]











↘

极小值

↗




在
时有极小值，

（2）
，
在
时恒成立

①当
时，
恒成立

②当
时，等价于
在
时恒成立，令
，则

在
时为增函数，
，
即

综上所述，

（3）由（2）知，当
时，
在
时为增函数

当
时，

，令
，
，又

即
[来源:学|科|网Z|X|X|K]

22． 解：（1）
；

（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是

①
， ②
．

证明：在①中，当
时，左边
，

右边
，等式成立；

当
时，左边

右边