腾八中2012-2013学年高二下学期期中考数学卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设函数
若
，则实数

A.—4或—2 B. —4或2 C.—2或4 D.—2或2

2．若函数
是奇函数,则
=( )

A． 0 B．2
C． 2
D．2

3．函数
处的切线方程是( )

A．
B．
C．
D．

4．下列计算错误的是( )

A．
B．
C．
D．

5．函数
的定义域为开区间
,导函数
在
内的图象如图所示,则函数
在开区间
内有极小值点(　　)

A．个 B．
个 C．个 D．个

6.已知ABCD是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则

顶点D的坐标为 （ ）

A. (1,1,- 7) B. (5,3,1) C. (-3,1,5) D. (5,13,-3)

7．.在正方体
中，M，N分别为棱
和
中点，则
的值为(　)(A)
　　 (B)
　　　 (C)
　　 (D)

8．若
满足
，则
与
满足( )

A．
B．
为常数

C．
=0 D．
为常数

9．若
，则
的值为( )

A．-2 B． 2 C．-1 D． 1

10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b－3(x∈R)图象恒过点(2,0)，则a2＋b2的最小值为( )

A．5 B．　 C．4 　 D．

11．已知双曲线
的两条渐近线均和圆C:
相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为

(A)
(B)
(C)
(D)
.

12. 函数
的图象大致是

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知下列命题(
是非零向量) (1)若
,则
; (2)若
,则
; (3)
. 则假命题的个数为___________

14．函数
的单调递增区间是

15．复数

16．一物体沿直线以
的单位：秒，v的单位：米/秒）的速度做变速直线运动，则该物体从时刻t=0到5秒运动的路程s为 米。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1,

(1)计算a2，a3，a4；(2)猜测an的表达式，并用数学归纳法加以证明。

18.（12分）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组，得到如下频率分布表：

分组

频数

频率



[-3, -2)



0.1



[-2, -1)

8





（1,2]



0.5



（2, 3]

10





（3,4]







合计

50

1



（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；

（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；

（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。

19.（12分）如图三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．

(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

20．（12分）如图，
分别是椭圆
：
+
=1（

）的左、右焦点，是椭圆
的顶点，是直线
与椭圆
的另一个交点，
.

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）已知
面积为40
，求
的值.

21.（12分）在
△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
.

(1)求
的值； (2) 若cosB=
，
,求
的面积.

22．（12分）设函数
。

(1）当k>0时，判断
上的单调性；

(2）讨论
的极值点。

2012—2013学年腾八中高二下学期期中考试数学答案

一、选择题。（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

D

D

D

D

B

B

C

B

A

C



二．填空题（每题5分，共20分）。

13．____3___. 14．_
__. 15．__-i___. 16．____
____.

三．解答题（17题10，18—22题每题12分）

17．略

18.【解析】（I）

分组

频数

频率



[-3, -2)



0.1



[-2, -1)

8





（1,2]



0.5



（2,3]

10





（3,4]







合计

50

1





（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为

（Ⅲ）合格品的件数为
（件）

答：（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为

（Ⅲ）合格品的件数为
（件）

19.（12分）如图三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．

(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

解：(1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得

V1＝××1×1＝. 又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1 所以(V－V1)∶V1＝1∶1.

故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.

20.【解析】（I）

（Ⅱ）设
；则

在
中，

面积

21.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得


所以
=
,

即
,即有
,即
,所以
=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知: =2,即c=2a,又因为
,所以由余弦定理得：

，即
,解得
,所以c=2,又因为cosB=
，所以sinB=
，故
的面积为

=

22.（12分）设函数
。

(1）当k>0时，判断
上的单调性；

(2）讨论
的极值点。

【答案】

(Ⅰ）当
时，
在
恒成立，所以
在
上单调递增.

(Ⅱ）函数的定义域是
.令
，得
，所以

当
时，
在
没有根，
没有极值点；

当
时，
在
有唯一根
，

因为在
上
，在
上
，

所以
是
唯一的极小值点.