班

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（ ）

A. {x|x＞1} B. {x|x＞0} C. {x|x＜－1} D. {x|x＜－1或x＞1}

2.
－
等于（ ）

A. 3－4i
B. －3＋4i C. 3＋4i D. －3－4i

3.已知M＝
dx，N＝cos215°－sin215°，则（ ）

A. M＜N B. M＞N C. M＝N D. 以上都有可能

4.一个体积为12
的正三棱柱的三视图如图1所示，

则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

5.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是（ ）

A. (0，1] B. [1，＋∞) C. (－∞，－1]∪(0，1] D. [－1，0)∪(0，1]

6.若不等式a＞|t－1|－|t－2|对任意t∈R恒成立，则函数f(x)＝log
(x2－5x＋6)的单调递减区间为（ ）

A. (
，＋∞) B. (3，＋∞) C. (－∞，
) D. (－∞，2)

7.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f′′(x)＝(f′(x))′，若f′′(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在
D上为凸函数.以下四个函数在(0，
)上不是凸函数的是（ ）

A. f(x)＝sinx＋cosx B. f(x)＝lnx－2x

C. f(x)＝－x3＋2x－1 D. f(x)＝－xe－x

8.函数y＝
－x2＋1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是（ ）

A.
B.
C.

D.

9.在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程
＋
＝1表示焦点在x轴上且离心率小于
的椭圆的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知椭圆
＋
＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F，若椭圆上存在一个P点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为（ ）

A.

B.


C.
D.

11.定义在R上的可导函数f(x)满足f(x＋2)
－f(x)＝2f(1)，y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，且当x∈[2，4]时，f(x)＝x2＋2xf′(2)，则f(－
)与f(
)的大小关系是（ ）

A. f(－
)＝f(
) B. f(－
)＜f(
) C. f(－
)＞f(
) D. 不确定

12.函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图2，

则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）

A. 1 B.
C. 2 D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题
5分，共20分.

13.执行如图3所示的程序框图，输出结果是 .

14.已知函数f(x)＝x3＋f′(
)x2－x，则函数f(x)的图象

在点(
，f(
))处的切线方程是 .

15.如图4，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x

及直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，

则该点落在阴影部分的概率为 .

16.函数f(x)（x∈R）满足f(1)＝1，且f(x)在R上的导函

数f′(x)＞
，则不等式f(lnx)＜
的解集为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

数列
{an}中，a1＝t，a2＝t2(t＞0且t≠1). x＝
是函数f(x)＝an－1x3－3[(t＋1)an－an＋1]x＋1(n≥2)的一个极值点.

（Ⅰ）证明数列{an＋1－an}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式.

18.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝xlnx.

（Ⅰ）求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围.

19.（本小题满分12分）

如图5，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

AB＝2AD＝2，BD＝
，PD⊥底面ABCD.

（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若二面角P—BC—D为
，求AP与平面PBC所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆方程为
＋
＝1（a＞b＞0），它的一个顶点为M(0，1)，离心率e＝
.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝3.求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知a∈R，函数f(x)＝
＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)ex＋x（其中e≈2.718）.

（Ⅰ）求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值；

（Ⅱ）是否存在实数x0∈(0，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.

22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－2a|，不等式f(x)≤4的解集为{x|－2≤x≤6}.

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若存在x∈R，使不等式f(x)＋f(x＋2)＜m成立，求实数m的取值范围.

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

1. A ； 2. B ； 3. B ； 4. D ； 5. A ； 6. B ；

7. D ； 8. D ； 9. B ； 10. A ； 11. B ； 12. B .

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx.

令f′(x)＞0，解得x＞
； 令f′(x)＜0，解得0＜x＜
.

从而f(x)在(0，
)上单调递减，在(
，＋∞)上单调递增.

∴ 当x＝
时，f(x)取得最小值－
.

则
即
可解得n＝(0，1，
)，

所以AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ＝
＝
＝
.

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意，得
解得

∴ 椭圆方程为
＋y2＝1.

∴ 直线AB过定点(－
，－1).

又由于直线AB和椭圆有两个不同的交点，

则Δ＝36k2t2－12(3k2＋1)(t2－1)＞0，

又t＝
，解得直线AB的斜率的取值范围是k＜－
或k＞0 .[来源:学科网]

综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上的无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为lna；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为
.

（Ⅱ）∵ g(x)＝(lnx－1)ex＋x，x∈(0，e]，

∴ g′(x)＝(lnx－1)′ex＋(lnx－1)
(ex)′＋1

＝
＋
(lnx－1)ex＋1＝(
＋lnx－1)ex＋1.

由（Ⅰ）可知，当a＝1时，f(x)＝
＋lnx－1.

所以
解得a＝1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)＝|x－2|，