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第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（ ）

A. {x|x＞1} B. {
x|x＞0} C. {x|x＜－1} D. {x|x＜－1或x＞1}

2.
－
等于（ ）

A. 3－4i B. －3＋4i C. 3＋4i D. －3－4i

3.复数
对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.用反证法证明命题“若
，则
全为0”其假设正确的是( )

A．
至少有一个不为0
B．
至少有一个为0

C．
全不为0
D．
中只有一个为0

5.一个体积为12
的正三棱柱的三视图如图1所示，

则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

6.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是（ ）

A. (0，1] B. [1，＋∞) C. (－∞，－1]∪(0，1] D. [－1，0)∪(0，1]

7.某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量
与时间
的函数图像可能是（ ）

8.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f′′(x)＝(f′(x))′，若f′′(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0，
)上不是凸函数的是（ ）

A. f(x)＝sinx＋cosx B. f(x)＝lnx－2x

C. f(x)＝－x3＋2x－1 D. f(x)＝－xe－x

9.函数y＝
－x2＋1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜
角记为α，则α的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程
＋
＝1表示焦点在x轴上且离心率小于
的椭圆的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知椭圆
＋
＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F，若椭圆上存在一个P点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.定义在R上的可导函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，且当x∈[2，4]时，f(x)＝x2＋2xf′(2)，则f(－
)与f(
)的大小关系是（ ）

A. f(－
)＝f(
) B. f(－
)＜f(
) C. f(－
)＞f(
) D. 不确定

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.执行如图3所示的程序框图，输出结果是 .

14.已知函数f(x)＝x3＋f′(
)x2－x，则函数f(x)的图象

在点(
，f(
))处的切线方程是 .

15.

观察上面的图形中小正方形的个数，则第6个图中有 个小正方形，第n个图中有 个小正方形．[来源:Zxxk.Com]

16.已知函数
的导数
，若
在
处取得极大值，则
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在△
中，内
角A，B，C所对的分别是
，
，
。已知
，
,
．

（I）求sinC和b的值；

（II）求
的值．

18.（本小题满分12分）

如图5，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

AB＝2AD＝2，BD＝
，PD⊥底面ABCD.

（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若二面角P—BC—D为
，求AP与平面PBC所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：

您是否需要志愿者

男

女



需要

40

30



不需要

160

270



（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；

（Ⅱ）通过计算说明，你能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

附：
 K2=

[来源:Zxxk.Com]

20.（本小题满分12分）

已知椭圆方程为
＋
＝1（a＞b＞0），它的一个顶点为M(0，1)，离心率e＝
.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝3.求证：直线AB过定点，并求该定点.

21.（本小题满分12分）

已知a∈R，函数f(x)＝
＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)ex＋x（其中e≈2.718）.

（Ⅰ）求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值；

（Ⅱ）是否存在实数x0∈(0，e]，使曲线y＝g(x)
在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆
与直线
相切，求实数
的值．

玉溪一中2014届高二下学期期中考试数学试题（文科）

参考答案

由余弦定理
，得
，又因为
，故
解得
，

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为CD2＝BC2＋BD2，所以BC⊥BD.

又因为PD⊥底面ABC
D，所以PD⊥BC.

又因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD.

而BC
平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD.

（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD.

所以∠PBD即为二面角P—BC—D的平面角，即∠PBD＝
.

而BD＝
，所以PD＝1.

分别以DA，DB，DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A(1，0，0)，B(0，
，0)，C(－1，
，0)，P(0，0，1)，

所以AP＝(－1，0，1)，BC＝(－1，0，0)，BP＝(0，－
，1).

设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，

则
即
可解得n＝(0，1，
)，

所以AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ＝
＝
＝
.[来源:学§科§网]

（Ⅱ）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋t，代入椭圆方程，得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0，

∴ 直线AB过定点(－
，－1).

21.（本小题满分14分）

22.（本小题满分10分）

解：由已知得
，所以圆ρ=2cosθ的普通方程为：
，

即
，圆心为（1,0），半径为1.

直线
的普通方程为：
，

又因为圆与直线相切，所以圆心（1,0）到直线的距离
=

解得：
，或
.