景洪市第四中学2012-2013学年下学学期期中试卷

高二数学（理科）（I卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷100分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共36分）

注意事项：

1．答卷前，务必就自己的考号、姓名、考场号和座次号等信息正确填涂在机读卡或答题卡指定位置。

2．每小题选出答案后，请填涂在机读卡或第II卷上，答在试卷上无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2．如果原命题的结构是“p且q”的形式，那么否命题的结构形式为

A．?p且?q　　 B．?p或?q C．?p或q D．?q或p

3.已知p：α为第二象限角，q：sinα>cosα，则p是q成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为

A. B. C. 　 D.

5.在
中，
，

则此三角形的外接圆的

面积为

A．
B．
C．
D．

6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a、b的夹角的余弦值为，则λ的值为

A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－

7．执行如图1所示的程序框图,输出的S值为

A．2 B．4 C．8 D．16

8.若
，
是第三象限的角，则

A.
B.
C.2 D.

9.双曲线
的焦点到渐近线的距离为

A.
B.
C.
D.1

10.有四个关于三角函数的命题：

：
x
R,

+

=

:
x、y
R, sin(x-y)=sinx-siny

:
x

,
=sinx
: sinx=cosy
x+y=

其中假命题的是

A.
，
B.
，
C.
，
D.
，

11.设
是椭圆
的左、右焦点，
为直线
上一点，

是底角为
的等腰三角形，则
的离心率为

A.
B.
C.
D.

12.设函数
的最小正周期为
，且
，则

A.
在
单调递减 B.
在
单调递减

C.
在
单调递增 D.
在
单调递增

座次 　 　 .

景洪市第四中学2012-2013学年下学期期末试卷

高二数学（理科）（II卷）

第Ⅱ卷（非选择题 共64分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

13．已知
且满足
,则
的最小值为

14．命题“?x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是___________

15.以椭圆
的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为

16.过点A(4,1)的圆C与直线
相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .

三、 解答题：(本大题共6小题，17,18各6分，19,20,21,22各9分，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

17．（本小题满分6分）

已知向量
＝(sin
，1)，
＝(1，cos
)，－
．

(1) 若
⊥
，求
；

(2) 求|
＋
|的最大值．

18.（本小题满分6分）

已知函数
.

（1）证明：不论
为何实数
总为增函数

（2）确定
的值, 使
为奇函数；

、

19. （本小题满分9分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinC－ccosA

求A

若a=2，△ABC的面积为，求b,c.

20.（本小题满分9分）

等比数列
的各项均为正数，且

（Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
求数列
的前n项和.

21.（本小题满分9分）

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，P为侧棱SD上的点。

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，

使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，试说明理由。

22.（本小题满分9分）

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

2012-2013下学期景洪市第四中学期中考试

高二 数学（理科）参考答案

选择题（每小题3分，共36分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

B

A

D

C

C

C

A

B

A

C

A





二．填空题（每小题4分，共16分）

13. 18 14. 对?x∈R，都有x2＋2x＋5≠0

15.
16.

三．解答题（17,18各6分，19,20,21,22各9分，共48分）

17．（本小题满分6分）

(1)若
，则

即
而
，所以

(2)

当
时，
的最大值为

18.（本小题满分6分）

解: (1) 依题设
的定义域为

原函数即
，设
,

则
=
,

,
,

即
,所以不论
为何实数
总为增函数.

(2)
为奇函数,
,即

则
，

19. （本小题满分9分）

20.（本小题满分9分）

解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由
得
所以
。

由条件可知a>0,故
。

由
得
，所以
。

故数列{an}的通项式为an=
。

（Ⅱ?）

故

所以数列
的前n项和为

21.（本小题满分9分）

解法一：

（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意
。在正方形ABCD中，
，所以
,得
.

(Ⅱ)设正方形边长
，则
。

又
，所以
,

连
，由（Ⅰ）知
,所以
,

且
,所以
是二面角
的平面角。

由
,知
,所以
,

即二面角
的大小为
。

（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使

由（Ⅱ）可得
，故可在
上取一点
,使
,过
作
的平行线与
的交点即为
。连BN。在
中知
，又由于
,故平面
，得
,由于
,故
.

解法二：

（Ⅰ）；连
,设
交于
于
，由题意知
.以O为坐标原点，
分别为
轴、
轴、
轴正方向，建立坐标系
如图。

设底面边长为
，则高
。

于是

故

从而

(Ⅱ)由题设知，平面
的一个法向量
，平面
的一个法向量
，设所求二面角为
，则
,所求二面角的大小为

（Ⅲ）在棱
上存在一点
使
.

由（Ⅱ）知
是平面
的一个法向量，

且

设

则

而

即当
时，

而
不在平面
内，故

22.（本小题满分9分）

解:

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为
，由已知得

，

所以椭圆
的标准方程为

（Ⅱ）设
，其中
。由已知
及点
在椭圆
上可得

。

整理得
，其中
。

（i）
时。化简得

所以点
的轨迹方程为
，轨迹是两条平行于
轴的线段。

（ii）
时，方程变形为
，其中

当
时，点
的轨迹为中心在原点、实轴在
轴上的双曲线满足
的部分。

当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆满足
的部分；

当
时，点
的轨迹为中心在原