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2013年重庆一中高2014级高二下期半期考试

数 学 试 题 卷（理科）2013.5

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1、设复数
(其中
为虚数单位)，则
的虚部为（ ）

A、
B、
C、
D、

2、如图所示，以边长为1的正方形
的一边
为直径在其内部作一半圆。若在正方形中任取一点
，则点
恰好取自半圆部分的概率为（ ）

A、

B、

C、
D、

3、有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（ ）

A、120 B、72 C、12 D、36

4、若
，则下列不等式一定不成立的是（ ）

A、
B、

C、
D、

5、（原创）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

6、已知
，且满足
，则
的最小值为（ ）

A、1 B、2 C、6 D、4

7、若多项式
，则
（ ）

A、1 B、60 C、
D、

8、（原创）从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）

A、1296 B、1080 C、360 D、300

9、若关于
的不等式
的解集包含
，则
的取值范围为（ ）

A、
B、
C、
D、

10、如图，用五种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共（ ）种。

A、1240 B、360 C、1920 D、264

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11、两人射击命中目标的概率分别为
现两人同时射击目标，则目标能被命中的概率为
。（用数字作答）

12、
的展开式中，
的系数为
。（用数字作答）

13、（原创）已知
且满足
，则
的最小值为
。

14、抛掷一枚骰子，设每一个点数向上是等可能的。构造数列
，使得
。记
，则
的概率为
。（用数字作答）

15、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第
行有
个数且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：
…，则第
行第3个数字是 ．（用含
的式子作答）

三、解答题：（共6小题，其中16~18题每小题13分，19~21题每小题12分，共75分）

16、(本小题满分13分)已知
展开式中的所有二项式系数和为512，

（1）求展开式中的常数项；

（2）求展开式中所有项
的系数之和。

17、（本小题满分13分）

在数列{
}中，
，且

，

（1）求
的值；

（2）猜测数列{
}的通项公式，并用数学归纳法证明。

18、（原创）（本小题满分13分）2013年4月20日8时02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3,东经103.0）发生7.0级地震。一方有难，八方支援，重庆众多医务工作者和志愿者加入了抗灾救援行动。其中重庆某医院外科派出由5名骨干医生组成的救援小组，奔赴受灾第一线参与救援。现将这5名医生分别随机分配到受灾最严重的芦山、宝山、天全三县中的某一个。

（1）求每个县至少分配到一名医生的概率。

（2）若将随机分配到芦山县的人数记为
，求随机变量
的分布列，期望和方差。

19、（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1。

（1）请在线段CE上找到一点F，使得直线BF∥平面ACD，并证明；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

20、（本小题满分12分）已知函数

（
1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，若
在区间
上的最小值为-2，求实数
的取值范围；

（3）若对任意
，且
恒成立，求实数
的取值范围.

21、（本小题满分12分）已知函数
的定义域为
，且对于任意

，存在正实数L，使得
均成立。

（1）若
，求正实数L的取值范围；

（2）当
时，正项数列{
}满足

①求证：
；

②如果令
，求证：
.

命题人：黄 艳

审题人：梁 波

2013年重庆一中高2014级高二下期半期考试（本部）

数 学 答 案（理科）2013.5

一、选择题：（每小题5分，共50分）

ACBCB CDDAC

二、填空题：（每小题5分，共25分）

11、
12、 30 13、9 14、
15、

三、解答题：(共75分)

16、（13分）解：（1）由
得
。

则第
项为

令
故常数项为

(2) 令
，得系数和为：

17、（13分）解：（1）

（2）猜测
。下用数学归纳法证明：

①当
时，显然成立；

②假设当

时成立，即有
，则当
时，由
得
，

故

，故
时等式成立；

③由①②可知，
对一切
均成立。

18、（13分）解：（1）

（2）由条件可知，
，故

故
的分布列为：

0

1

2

3

4

5



P

















19、（12分）解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得
轴和
轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为
，
，
，
，
，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为

，∴

，而
是平面ACD的一个法向量，此即证得BF∥平面ACD；

（2）设平面BCE的法向量
为
，则
，且
，

由
，
，

∴
，不妨设
，则
，即
，

∴所求角
满
足
，∴
；

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则

，∴

，

∴四边形ABFH是平行四边形，∴
，

由
平面ACD内，
平面ACD，
平面ACD（2）由已知条件可知
即为
在平面ACD上的射影，设所求的二面角的大小为
，则
，

易求得BC=BE
，CE
，∴
，

而
，∴
，且
， ∴

20、（12分）解：（Ⅰ）当
时，
，

因为
，
.所以切线方程是

（Ⅱ）函数
的定义域是
，

当
时,

令
，即
,

所以
或
。

当
，即
时，
在［1，e]上单调递增，

所以
在［1，e]上的最小值是
；

当
时，
在［1，e]上的最小值是
，不合题意；

当
时，
在（1，e）上单调递减，

所以
在［1，e]上的最小值是
，不合题意；

综上，
。

（Ⅲ）设
，则
，只要
在
上单调递增即可.而
，

当
时，
，此时
在
上单调递增；

当
时，只需
在
上恒成立，因为
，只要
，

则需要
，且对于函数
，过定点（0
，1），对称轴
，只需