葫芦岛市第一高级中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的 四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复平面内，复数
所对应的点到坐标原点的距离为 （ ）

A.
B.
C.
D.

2. 一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ）

A．20 ,10 ，10 B.15 ,20 ,5 C .20, 5,15 D.20, 15, 5

3. 曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为 (　 　)

A．y＝2x－2 B．y＝x－1． C． y＝2x＋2 D．y＝x＋1

4. 已知回归直线的斜率估计值是1.23，样本中心为（4,5），则回归直线的方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

5．设等差数列
的前n项和为
，若
，
，则
等于(　)

A．15 B．12 C．36 D．27

6.若
，则

（ ）

A.2011 B.2012 C.2013 D.2014

7．位于坐标原点的一个质点P，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．将三颗骰子各掷一次，设事件A =“三个点数都不相同”，B =“至少出现一个6点”，则概率
等于（ ）

A．
　　B．
C ．
D．

9． 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （　　）

A．[1,2] B．(1,2) C．（2，＋∞) D．[2，＋∞)

10．已知函数
的图象如图所示

（其中
是函数
的导函数）．

下面四个图象中，
的图象大致是（　　）

11．已知函数
是定义在R上可导函数，满足
，且
，对
时。下列式子正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

12.已知
，若方程
的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则 （ ）

A.　
B.　
C.　
D.

二、填空题：（本题共5个小题；每小题4分，共20分）

13．命题“
”的否定是 ．

14.圆心在曲线
（x>0）上，且与直线3x+ 4y + 3 = 0 相切的面积最小的圆的方程为 。

15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含
个小正方形．则
的表达式为__________。

16．给出下列命题：①函数
在区间[1,3]上是增函数；

②函数f（x）=2x －x2的零点有3个；

③函数y= sin x（x∈
）图像与x轴围成的图形的面积是S=
；

④若
～N（1，
），且P（0≤
≤1）=0.3，则P(
≥2）=0.2．

其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）： ．

三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（10分） 在
中,角A、B、C 所对的边分别为a,b,c,且a = 1,c =
,

cosC =
.

（Ⅰ）求sinA的值; （Ⅱ） 求
的面积。

18．（12分）为了参加
年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出
人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：

班级

高三（
）班

高三（
）班

高二（
）班

高二（
）班



人数











（I）从这
名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；

（II）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为
，求随机变量
的分布列及数学期望
．

19、（12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，且
，
，侧面
底面
. 若
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）侧棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，指出点
的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

20、（12分）

（1）求证：
是等比数列，并求出
的通项公式；

（2）
，
，

21、（12分）已知椭圆C的长轴长为
，一个焦点的坐标为(1,0)．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．

（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；

（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为
，
，求证：
为定值．

22、（12分）已知函数
。

（1）若
在
处取得极值，求
的值；

（2）求
的单调区间；

（3）若
且
，函数
，若对于
，总存在
使得
，求实数
的取值范围。



（Ⅱ）

18、（本题满分12分）

解：（I）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件
，

则

（II）
的所有可能取值为

则

　　　　　　　　

又因为
， 所以
平面
. ……………………………4分

（Ⅱ）在
上存在中点
，使得
平面
，

证明如下：设
的中点是
， 连结
，
，
，则
，且
. 由已知
，所以
. 又
，

. ………………………12分

解法二：因为
，所以
.

又因为侧面
底面
，

且侧面
底面
，所以
底面
.又因为
，所以
，
，
两两垂直.分别以
，
，
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，如图.设
，则
，
，
，
，
.

（Ⅰ）
，
，
,

可得
，
，所以

，

.

又因为
， 所以
平面
. ………………………………4分

所以数列
是以2为首项，公比为2的等比数列，………… 3分

所以
即
…………4分

（2）∵
，…………5分

∴
………………① …………8分

解法一：2
…………………②

②－①得：

……… 12分

解法二：先验证
时
，…… 8分

…… 10分

解得
　　　　
………………4分

　　
　　P到直线
的距离为
，则
……6分

　　
……………………7分

（或
）

（Ⅱ）
　　消去
得
　　

若
或
（舍去）











－

0

＋















…………………8