鱼台一中2012-2013学年高二下学期期中检测

数学（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．复数＝(　 )

A．i B．－i

C．－－i D．－＋i

2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)

A．综合法 B．分析法

C．反证法 D．归纳法下列关于残差的叙述正确的是

3. 当0

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

4．如果
为各项都大于零的等差数列，公差
，则(　 )

A．
B．

C．
D．

5. 若函数
的图象的顶点在第四象限，则函数
的图象是(　 )

6.
与
是定义在R上的两个可导函数，若
,
满足
,则

与
满足(　 )

A．

B．

C．

为常数函数 D．

为常数函数

7.曲线
上的点到直线
的最短距离是 （ ）

A．
B．
C．
D．0

8.若函数
上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．不存在这样的实数k

9.在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　 )

A．－1

C．－

10.已知曲线y＝的一条切线斜率为，则切点的横坐标为 (　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

11. 已知
，
是
的导函数，即
，
，…，
，
，则
(　　)

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
的定义域为
,部分对应值如下表。
的导函数
的图像如图所示。

下列关于函数
的命题：

①函数
在
上是减函数；②如果当
时，
最大值是
，那么
的最大值为
；③函数
有
个零点，则
；④已知
是
的一个单调递减区间，则
的最大值为
。

其中真命题的个数是（ ）

A .4个 B. 3个 C. 2个 D .1个

二．填空题:　本大题共4小题，每小题５分，满分20分．

13．已知二项式
的展开式的二项式系数之和为
，则展开式中含
项的系数是______

14．由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为_________

15．已知
……,若
（a,t均为正实数），类比以上等式，可推测a-t的值 =_________.

16．如图，圆O:x2+ y2=
内的正弦曲线y= sinx与x轴围成的

区域记为M（图中阴影部分），随机向圆O内投一个点P，则

点P落在区域内的概率是_________

三．解答题: 本大题共6小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i：

(1)与复数2－12i相等；

(2)与复数12＋16i互为共轭；

(3)对应的点在x轴上方．

18. （本小题满分12分）

在数列
中，
=1，
，其中实数
.

（1） 求
；

（2）猜想
的通项公式, 并证明你的猜想.

19. （本小题满分12分）

已知
的图象经过点
，且在
处的切线方程是
.

（1）求
的解析式；

（2）求
的单调递增区间.

20.（本小题满分12分）

如图，
为矩形，
为梯形，平面

平面
，

，
.

（1）若
为
中点，求证：
∥平面
；

（2）求平面
与
所成锐二面角的大小．

21. （本小题满分12分）

已知椭圆
:
的一个焦点为
,而且过点
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设椭圆
的上下顶点分别为
,
是椭圆上异于
的任一点,直线
分别交
轴于点
,若直线
与过点
的圆
相切,切点为
.

证明：线段
的长为定值,并求出该定值.

22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.

(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；

(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.

参考答案:

1-5 ABDCA 6-10 CCACA 11-12 AB

13.10 14. 15.-29 16.

17． (1)根据复数相等的充要条件得

解之得m＝－1.

(2)根据共轭复数的定义得

解之得m＝1.

(3)根据复数z对应的点在x轴上方可得

m2－2m－15>0，解之得m<－3或m>5.

18.（1）由

(2） 猜想：

①当
时，
，猜想成立；

②假设
时，猜想成立，即:
，

则
时，

=

猜想成立.

综合①②可得对
，
成立.

19.（1）
的图象经过点
，则
，

切点为
，则
的图象经过点

得

综上
故，

（2）

单调递增区间为

20. （1）证明：连结
,交
与
,连结
，

中，
分别为两腰
的中点 ∴

因为
面
,又
面
，所以
平面

（2）解法一：设平面
与
所成锐二面角的大小为
，以
为空间坐标系的原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，则

设平面
的单位法向量为
，则可设

设面
的法向量
，应有

即：

解得：
， 所以
∴

所以平面
与
所成锐二面角为60°

解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC

∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D

∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG， 又CD∩DH=D∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC

∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角

在
△
中，
，
可以计算

在
△
中，

所以平面
与
所成锐二面角为60°ks5u

21. （1）解法一:由题意得
,
,解得
,

所以椭圆
的方程为
.

解法二:椭圆的两个交点分别为
,ks5u

由椭圆的定义可得
,所以
,
,

所以椭圆
的方程为
.

（2）解法一:由（Ⅰ）可知
,设
,

直线
:
,令
,得
;

直线
:
,令
,得
; 设圆
的圆心为
,

则

,

而
,所以
,所以
,

所以
,即线段
的长度为定值
.

解法二:由（Ⅰ）可知
,设
,

直线
:
,令
,得
;

直线
:
,令
,得
;

则
,而
,所以
,

所以
,由切割线定理得

所以
,即线段
的长度为定值
.

22.解：(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1.

f′(x)＝3x2－12x＋3

＝3(x2－4x＋1)

＝3(x－2＋)(x－2－)．

当x＜2－，或x＞2＋时，得f′(x)＞0；

当2－＜x＜2＋时，得f′(x)＜0.

因此f(x)递增区间是(－∞，2－)与(2＋，＋∞)；

f(x)的递减区间是(2－，2＋)．

(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3，

Δ＝36a2－36，由Δ＞0得，a＞1或a＜－1，又x1x2＝1，

可知f′(2)＜0，且f′(3)＞0，

解得＜a＜，

因此a的取值范围是.