鱼台一中2012-2013学年高二下学期期中检测

数学（文）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
，则
在复平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．根据偶函数定义可推得“函数
在
上是偶函数”的推理过程是( )

A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.非以上答案

3. 若
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知等比数列
满足
，则
（ ）

A．64 B．81 C．128 D．243

5．函数
的单调递增区间是（ ）

A.
B.(0,3) C.(1,4) D.

6. 在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　)

A．－1

C．－

7．已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为 ＝0.5＋2x，则变量x，y是(　　)

A．线性正相关关系

B．由回归方程无法判断其正负相关

C．线性负相关关系

D．不存在线性相关关系

8.图中所示的是一个算法的流程图．

已知
，输出的结果为
，

则
的值为（ ）

A．12

B．11

C．10

D．9

9．“复数
为纯虚数”是“
”的（　 　）

A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件

C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件

10. 已知函数：
，其中：
，记函数
满足条件：
为事件为A，则事件A发生的概率为 （ ）

A．
　 B．
　　 C．
　 　D．

11．若直线
始终平分圆
：
的周长，则
的最小值为 （ ）

A．8 B．12 C．16 D．20

12. 设曲线
在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为
,则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D． 1

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上.

13. 若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是________．

14．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______

15．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a10＝________.

16．曲线
在点M（
，0）处的切线的斜率为________________．

三、解答题：本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i：

(1)与复数2－12i相等；

(2)与复数12＋16i互为共轭；

(3)对应的点在x轴上方．

18．（本小题满分12分）

某中学共2200名学生中有男生1200名，按男女性别用分层抽样抽出110名学生，询问是否爱好某项运动。已知男生中有40名爱好该项运动，女生中有30名不爱好该项运动。

 男

女

总计



爱好

40







不爱好



30





总计









（1）如下的列联表：

（2）通过计算说明，是否有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”? 参考信息如下：

0.050

0.010

0.001



k

3.841

6.635

10.828





19.（本小题满分12分）

已知数列
满足
,且
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
；

（3）设
，记
，证明：
.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：
（a＞b＞0）,则称以原点为圆心，r=
的圆为椭圆C的“知己圆”。

（1）若椭圆过点（0,1），离心率e=
；求椭圆C方程及其“知己圆”的方程；

（2）在（Ⅰ）的前提下，若过点（0，m）且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2，求m的值；

（3）讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系.

21.（本小题满分12分）

已知三次函数
为奇函数，且在点
的切线方程为

(1)求函数
的表达式；

(2)已知数列
的各项都是正数,且对于
,都有
,求数列
的首项
和通项公式；

(3)在(2)的条件下，若数列
满足
,求数列
的最小值.

22．(本小题满分12分)

已知：0<α<，0<β<，且sin(α＋β)＝2sin α，求证：α<β.

参考答案:

1-5 DCCAD 6-10 CABAC 11-12 CB

13．3+i 14．  15．1000 16．

17．(1)根据复数相等的充要条件得

解之得m＝－1.

(2)根据共轭复数的定义得

解之得m＝1.

(3)根据复数z对应的点在x轴上方可得

m2－2m－15>0，解之得m<－3或m>5.

5.18．（1）

 男

女

总计



爱好

40

20

60



不爱好

20

30

50



总计

60

50

110



（2）
>6.635

19．（1）由
，知数列
是首项为1，公差为1的等差数列，

∴
，

∴
.

（2）由（1）得
=

∴
=
- -①

-- -②

①-②得
=

∴
=
.

（3）由（1）得

=

∴

<1-

20.（1）∵ 椭圆C过点（0,1），由椭圆性质可得：b=1；

又∵椭圆C的离心率e=
，即
，且

∴ 解得

∴所求椭圆C的方程为：

又∵

∴ 由题意可得椭圆C的“知己圆”的方程为：

（2）过点（0，m）且斜率为1的直线方程为y=x+m 即：x-y+m=0

设圆心到直线的距离为d,则d=

∴d=
解得：m=

（3）∵称以原点为圆心，r=
的圆为椭圆C的“知己圆”，此时r=c

∴ 当r=c

当r=c=b时，该椭圆C的“知己圆”与椭圆有两个公共点，交点是（0，1）和（0，-1）；

当r=c＞b时，该椭圆C的“知己圆”与椭圆有四个公共点。

21.解：(1) ∵
为奇函数，
，

即

，又因为在点
的切线方程为

，

(2)由题意可知：
....

…
…+
ks5u

所以
………①

由①式可得

当
，
………②

由①-②可得:

∵
为正数数列
…..③

………④

由③-④可得:

∵
＞0，
,

是以首项为1，公差为1的等差数列,

（注意：学生可能通过列举然后猜测出
，扣2分，即得7分）

(3) ∵

,

令
,

(1)当
时,数列
的最小值为当
时,

(2)当
时

①若
时, 数列
的最小值为当
时,

②若
时, 数列
的最小值为, 当
时或

③若
时, 数列
的最小值为,当
时,

④若
时,数列
的最小值为,当
时

22.证明　方法一　反证法

假设α＝β(且均为锐角)．

由于sin(α＋β)＝2sin α?sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α

?2sin αcos α＝2sin α?cos α＝1，

这与α∈相矛盾，故α≠β.

假设α>β，∵sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α.

∴cos αsin β＝sin α(2－cos β)．即＝.

由于>α>β>0，易知上式左边大于1，而右边小于1，不能成立，故α≤β.

因为α≠β且α≤β，只能是α<β.

方法二　综合法

由已知sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α，

∵0<α<，0<β<，

∴0

∴2sin α＝sin αcos β＋cos αsin β

即sin α