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高二模块考试（三） 试卷类型：B 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上。 3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。 4、保持卡面清洁，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。 第Ⅰ卷 (选择题，共60分) 一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数（为虚数单位）等于 A．2－2 B． C．2＋ D． 2. 的导数为 A． B． C． D． 3. 复数的实部为 A． B． C． D． 4.设复数，，则在复平面内对应的点在 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5. 在空间直角坐标系中，若向量，则它们之间的关系是 A．且 B．且 C．且 D．且 6. 若的图象如图所示，定义 则下列对的性质描述正确的有 ①上的增函数， ②， ③上的减函数， ④ A．② B．①② C．①②④ D．①④ 7. 如图，长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 8．已知有极大值和极小值，则的取值范围为 A． B． C．或 D．或 9．若，其中，是虚数单位，则= A． B． C． D． 10．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是 A. B. C. D. 11. 在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为 A． B． C． D． 12．已知函数是定义在上的奇函数，且当时恒成立，若，则的大小关系是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分) 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．设函数处的切线斜率为 14．记复数，则等于 15．已知四面体四个顶点分别为、、和，则顶点到平面的距离为 16．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。对于给出的四个函数：①， ②，③，④ 以上四个函数在上是凸函数的是 （请把所有正确的序号均填上） 三、解答题：（本大题共6个小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）已知，求这个函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）计算+ 18．（本小题满分12分） 已知复数（为虚数的单位），当实数取什么值时，复数是 （Ⅰ）纯虚数； （Ⅱ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。 19．（本小题满分12分） 已知空间三点，，，设，. (Ⅰ)求和的夹角的余弦值； (Ⅱ)若向量与互相垂直，求实数的值； (Ⅲ) 若向量与共线，求实数的值． 20．（本小题满分12分）已知函数． （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数，并给予证明． 21．（本小题满分12分） 如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱被平面所截而得. ． （Ⅰ）当时，求平面与平面的夹角的余弦值； （Ⅱ）当为何值时，在棱上存在点，使平面？ 22．（本小题满分14分） 已知函数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求证：不等式在上恒成立； （Ⅲ）求在的最大值． 高二模块考试（三） 试卷类型：B 数学答案及评分标准 一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C A B D B C A B C D
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13. 14. 15. 16. ①②③ 三、解答题：（本大题共6个小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ），，， 这个函数的图象在点处的切线的斜率为， 又，切点为 故切线方程为：…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）+ = ………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 解： …………………………………………………………4分 （Ⅰ）复数是纯虚数， …………………………………………6分 ……………………………………………………………………………………8分 （Ⅱ）复数是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数， 复数对应的点在直线上， ……………………10分 ，或 ………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：，． ……………………………………2分 (Ⅰ)， ∴和的夹角的余弦值为. ………………………………………………4分 (Ⅱ) , 向量与互相垂直， ,或. ……………………………………………………………………8分 (Ⅲ) ， 向量与共线，存在实数，使得 …………9分 即 ，或 ……………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵，， 当时，；当时，. 当时，取得极小值，无极大值.…………………………………………4分 （Ⅱ）函数在区间上有且只有一个零点. ……………………………5分 证明如下： ∵， ， ， 函数在区间上必定存在零点. ………………………………………8分 ∵，当时，， 在区间上单调递增，………………………………………………11分 ∴函数在区间上的零点最多一个. 综上知：函数在区间上存在唯一零点． …………………………12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）分别取、的中点、，连接、． 以直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则、、的坐标分别为，，， ∴=，= 设平面的法向量， 由得 ，可取 ………………3分 平面的法向量可以取 ∴ ∴平面与平面的夹角的余弦值为．………………………………………6分 （Ⅱ）在（Ⅰ）的坐标系中，，=，=． 因在上，设，则 ∴………………8分 于是平面的充要条件为
由此解得： ……………………………………………………11分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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