葫芦岛市第一高级中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学文试题

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．
是虚数单位，则复数
在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ）

A．20 ,10 , 10 B.15 , 20 , 5 C .20, 5, 15 D.20, 15, 5

3. 曲f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为 (　 　)

A．y＝2x－2 B．y＝x－1． C． y＝2x＋2 D．y＝x＋1

4.已知回归直线的斜率估计值是1.23,样本中心为（4,5）,则回归直线的方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

5．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面
，直线
，直线
∥平面
，则直线
∥直线
”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

6．下列有关样本相关系数的说法不正确的是 ( )

A．相关系数用来衡量变量
与
之间的线性相关程度

B．
，且
越接近于1，相关程度越大

C．
，且
越接近于0，相关程度越小

D．
，且
越接近于1，相关程度越大.

7．函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）

A．
B.

C．
D．

8．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论(　　)

A．f(2n)>　 B．f(2n)≥ C． f(n2)≥ D．以上都不对

9．设点
是曲线
上的任意一点,
点处切线倾斜角为
，则角
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

10．函数
在[0，3]上的最大值、最小值分别是（ ）

A．-4，-15 　B．5，-4　 　C．5，-15　　 D．5，-16

11．已知函数
是定义在R上可导函数，满足
，且
，对
时。下列式子正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：（本题共5个小题；每小题4分，共20分）

13． 设
，
（i为虚数单位），则
的值为 ．

14．函数
的导数记为
，若
的导数记为
，

的导数记为
， .若
，则
．

15. 已知R上可导函数
的图象如图所示，则不等式

的解集 .

16. 从
中得出的一般性结论是_____________

三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（12分）已知函数
在
处取得极值
.

（I）求实数a和b. （II）求f(x)的单调区间.

18、（12分）为了解目前老年人居家养老还是在敬老院养老的意向，共调查了50名老年人，其中男性明确表示去敬老院养老的有5人，女性明确表示居家养老的有10人，已知在全部50人中随机地抽取1人明确表示居家养老的概率为
。

（1）请根据上述数据建立一个2×2列联表；

（2）居家养老是否与性别有关？请说明理由。

参考公式：

参考数据：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





19、（12分）观察下列各式：

　……

请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题（写出已知，求证），并用分析法加以证明。

20．(12分)一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

(1）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；

(2）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(参考数值：
，
)

21．(12分）已知函数
．

（1）求函数
的单调区间；

（2）函数
的图象在
处切线的斜率为
若函数

在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图
，已知⊙
与⊙
相交于
、
两点，过点A作⊙
的切线交⊙O2于点
，过点
作两圆的割线，分别交⊙
、⊙
于点
、
，
与
相交于点
.

（I）求证：
；

（II）若
是⊙
的切线，且
，

，求
的长．

23．（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】

已知圆
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
.

（I）将圆
的参数方程化为普通方程，将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（II）圆
、
是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.

24．（10分）【选修4—5：不等式选讲】设函数

（I）画出函数
的图象；

（II）若关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围．

因为女性居家养老10人，所以男性居家养老20人，列2×2联表如下：

分类

人数

性别

居家养老

敬老院养老

合计



男性

20

5

25



女性

10

15

25



合计

30

20

50



　　　　　　　　　　　　　　　 　6分

（2）假设居家养老与性别无关

……………………………………9分

，

居家养老与性别无关是小概率事件……11分

有99%的把握认为居家养老与性别有关。…………………………12分

　　∴回归直线方程为：
8分

(2）
，解得
12分

∴DE＝9＋x＋y＝16，

∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.

23、解：（I）由
得x2＋y2＝1，

又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，

∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ.

∴x2＋y2－x＋y＝0，即

（II）圆心距
，得两圆相交

由得，A(1,0)，B
，