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2012-2013学年高二下学期期中考试数学（理）试题

注意事项：本试题第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，答题纸5至8页。考试结束后，将本试卷答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1.
（ ）

A 1 B
C -
D -1

2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”以上推理的大前提是（ ）

A．矩形都是四边形； B．四边形的对角线都相等；

C．矩形都是对角线相等的四边形； D．对角线都相等的四边形是矩形

3.函数
的导数是 （ ）

A
B
C
D

4． 复数
的共轭复数是 ( )

A．
B．
C．
D．

5．若
，则
的值是 （ ）

A . -2 B . 4 C . -2或2 D . 2

6、将5件相同的小礼物全部送给3个不同的球迷，让每个球迷都要得到礼物，不同的分法种数是 （ ）

A．2种 B．10种 C．5种 D．6种

7．函数
在
上 （ ）

A . 是增函数 B . 是减函数 C . 有最大值 D . 有最小值

8．用反证法证明命题：若系数都为整数的一元二次方程
有有理根，那么
中至少有一个是偶数。下列假设中正确的是 （ ）

A . 假设
都是偶数 B . 假设
都不是偶数

C . 假设
中至多有一个偶数 D . 假设
中至多有两个偶数

9.利用数学归纳法证明“
”，在验证
成立时，左边应该是. ( )

A． 1 B．
C．
D．

10. 已知函数
的图象如图所示，其中

为函数
的导函数，则
的大致图象是( )

11. 如上图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有（ ）

A. 11种 B. 20种 C. 21种 D. 12种

12. 函数
，则函数
在区间
上的值域是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分）

13
　　　　　．

14．设
，则
的实部是________，虚部是________．

15. 用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，7与8不相邻，这样的八位数共有________.（用数字作答）

16.观察下列式子
, … … ,

则可归纳出第n（
）个式子为________________________________

三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分12分）

设复数
，若
，求实数
的值.

18、（本小题满分12分）已知曲线
.

（1）求曲线
在（1，1）点处的切线
的方程；

（2）求由曲线
、直线
和直线
所围成图形的面积.

19（本小题满分12分）

某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中

(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？

(2)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？

(3)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

（列出式子并用数字给出最后答案）

20、（本小题满分12分）

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均

销售
件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，

如果产品的销售价提高的百分率为
，那么月平均销售量减少的百分率为
。记

改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是
(元)

（1）写出
与
的函数关系式；

（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

21. (本题满分13分)函数数列
满足
,
=
.

(1)求
；

(2)猜想
的解析式，并用数学归纳法证明.

22、（本小题满分13分）

已知函数

.

(Ⅰ) 求
的单调区间；

(Ⅱ)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求
的取值范围.

2012-2013学年第二学期高二期中考试试题

数学(理)

参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

BCCBD, DABCB, CA

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分）

三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18、解：（1）
，故
………………3分

所以，切线方程为
，即
………………6分

（2）根据题意得
………………12分

19.解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816种；

(2)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CC＋C＝6 936种；

(3)法一(直接法)：至少有一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656种．

法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656种．

（注：每一步各4分，共12分）

21．解:(1)
………………………2分

………………………4分

(2)猜想
,下面用数学归纳法证明

这就是说当
时猜想也成立. ………………………11分

由1°,2°可知,猜想对
均成立.

故
.………………………13分

22解：(Ⅰ)
. ………………2分

①当
时，由于
，故
，

所以，
的单调递增区间为
. ………………4分

②当
时，由
，得
.

在区间
上，
，在区间
上
，

所以，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. ………………6分

(Ⅱ)由已知，转化为
. ……………8分

………………9分

由(Ⅰ)知，当
时，
在
上单调递增，值域为
，故不符合题意.

(或者举出反例：存在
，故不符合题意.) ………………11分

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
的极大值即为最大值，
，

所以
，

解得
. ………………13分