湛江一中2012—2013年学年度第二学期期中考试

高二级数学试题

考试时间:120分钟 满分:150分 命题人:CZH

（一）、选择题（5×8=40分，将唯一正确的答案填在答题卡中）

1、

（A）45 （B）55 (C)65 (D)以上都不对

2、观察圆周上个点之间所连成的弦，发现2个点可以连成一条弦，3个点可以连成3条弦， 4个点可以连成6条弦，5个点可以连成10条弦，由此可以推广到
的规律是 （ ）

（A）6个点可以连成15条弦 （B）n个点可以连成
条弦

(C)n个点可以连成
条弦 (D)以上都不对

3、下列类比推理中，得到的结论正确的是( )

（A）把
与a（b+c）类比，则有

（B）向量
的数量积运算与实数
的运算性质
类比，

则有

(C)把
与
类比，则有

(D)把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和

4、用S表示图中阴影部分的面积，则S的值为（ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

5、函数
的导数是( )

(A）
（B）

(C)
(D)

6、曲线
在点
处的切线方程是（ ）

（A）
（B）
(C)
(D)

7、将5封信随意投入3个不同的邮箱里，每个邮箱中的信件不限，共有（ ）种

不同的投法。

（A）
（B）
(C)
(D)

8、设
，若函数
有大于零的极值点，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
(C)
(D)

二、填空题（每空5分，5×6=30分）

9、一木块垂直向下运动，测得向下的垂直距离s（米）与时间t（秒）之间的函数关系为
，

则
时，此木块在垂直方向的瞬时速度为 米/秒。

10、如图，曲边梯形
由直线
、

、
轴及曲线
围成，则它的面

积是____________.（注：
为自然对数的底）

11、
的展开式中
的系数是___________（用数字作答）.

12、函数
的定义域为开区间
，导函数

在
内的图象如右图所示，则函数
在开区间

内有 个极小值点 .

13、在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的
”。拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 。

14、考察下列各式：

1=0+1，

2+3+4=1+8，

5+6+7+8+9=8+27，

10+11+12+13+14+15+16=27+64

… …

你能作出的归纳猜想是

三、解答题（本大题共6道小题，总分80分）

15、（12分）复数
，
。

（1）
为何值时，
是纯虚数？

（2）
取什么值时，
在复平面内对应的点位于第四象限？

（3）若
（
）的展开式第3项系数为40，求此时
的值及对应的复数
的值。

16、（12分）2名女生和4名男生外出参加比赛活动。

（1）他们排成一列照相时，若2名女生必须在一起，有多少种排列方法？

（2）他们排成一列照相时，若2名女生不相邻，有多少种排列方法？

（3）从这6名学生中挑选3人担任裁判，至少要有1名女生，则有多少种选法？

17、（14分） (1) 已知
，
是两个正实数，证明：
，并指出等号成立的条件．

(2)设
是正实数，利用（1）的结论求复数
模的最小值．

18、（14分）用边长60cm的正方形硬纸片ABCD，切去如图所示的阴影部分，即四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A,B,C,D四点重合于右图中点P，正好做成一个正四棱柱状的包装盒。被切去的一等腰直角三角形斜边两端点E,F在AB上。设
。

（1）用
表示包装盒的高h；

（2）求出包装盒的容积V关于
的函数表达式，并指出
的范围；

（3）
为何值时，盒子容积最大？求出此时盒子的底边与高长之比.

19、（14分）在各项为正的数列
中,数列的前
项和
满足
.

(1)求出
的值.

(2)由(1)猜想数列
的通项公式,并证明你的结论.

20、(14分)已知函数
，
，
.

（Ⅰ）若曲线
与曲线
相交，且在交点处有相同的切线，求
的值及该切线的方程；

（Ⅱ）设函数
,当
存在最小值时，求其最小值
的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的
，证明：当
时，
.

湛江一中2012—2013年学年度第二学期期中考试

高二级数学试题参考答案

考试时间:120分钟 满分:150分 命题人:CZH

一、选择题：BCDD CADA

二、填空题

9、1 10、 2 11、 -84 12、 1 13、

14、

或以下答案也对.

三、解答题

15、解：（1）
且
时，即
时，
是纯虚数。（4分）

（2）
解得
，此时
在复平面内对应的点位于第四象限。（8分）

（3）
的展开式第3项系数为
,化简得
，

或
（负，舍去）。

∴
此时
。 （12分）

16、解: (1)
(种) （4分）

（2）解一：
（种） 解二、
=480（种） （8分）

（3） 解一：
解二：
（种） （12分）

17、解：（１）分析法：要证
，由题，因

只需证　　　　

只证　　　　

只要证
此式成立．原不等式成立．

当且仅当
时等号成立（6分）

（亦可用综合法，略）

（２）
（ 9分）

（ 12分）

当
（负舍）时，
的最小值是
（14分）

18、解：（1）
（3分）

（2）
， （ 8分）

（9分）

（3）
，（11分）

当

为增函数;当
为减函数。

所以当
时，V有极大值，即容积有最大值。（13分）

此时盒子的底边与高长之比为
。（14分）

19.解:(1)
得
,由
,∴
.(1分)

得
,∴
,（3分）

同理,求得
. (5分)

(2)猜想
. （6分）

证明一:(数学归纳法)①
时,
命题成立.（7分）

②假设
时,
(*)成立,

则
时,

把 (*)代入上式,化简得,
,

∴
(负舍),即
时,命题成立.

由①②得,
. （14分）

证明二:当
时,
得
,由
,∴
.（7分）

当
时,
,代入
得,

,化简得

∴
是以1为首项,1为公差的等差数列,
.
.（12分）

∴
，证毕。（14分）

20. 解： （Ⅰ）
=

,
=
(x>0),（1分）

由已知得
得
（3分）

解得a=
，x=e2, （5分）

∴两曲线交点为
，
，

切线方程为
，即
（6分）

（Ⅱ）由条件知

（i）当
>0时，令
解得
，

∴ 当0 <
<
时，
，
在（0，
）上递减；

当x>
时，
，
在
上递增.

∴
是
在
上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是
的最小值点.

∴ 最小值

（ii）当
时，

在（0，+∞）上递增，无最小值。

故
的最小值
的解析式为
（10分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

则
，令
解得
.

当
时，
，∴
在
上递增；

当
时，
，∴
在
上递减.

∴
在
处取得极大值

∵
在
上有且只有一个极值点，所以
也是
的最大值.

∴当
时，总有
（14分）