潮师高级中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学（理）试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1、设
则
等于( )

2. .如右图，阴影部分面积为（　 　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

3．在△ABC中，若
，则
A（ ）。

A．90° B．60° C．120° D．150°

4.若复数
，则z的虚部等于（　 　）

　Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．
Ｄ．

5．抛物线
在点
处的切线与其平行直线
间的距离是（　 　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

6．.证明：
，当
时，中间式子等于（　 　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

7．已知函数
在
上是单调函数,则实数
的

取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

8．对于
上可导的任意函数
，若满足
，则必有（ ）

A．
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．若数列
满足，
且
，则此数列的通项公式为

10、已知函数
是定义在R上的奇函数,
,

,则不等式
的解集是 .

11．

12．
、
满足约束条件
则
的最大值是_____________。

13．极坐标系中，曲线
和
相交于点
，则
＝ ；

14．如图已知
是圆
(
为圆心)的切线，切点为
，
交圆
于

两点，BC为圆O的直径。
，
，则圆
的面积为 ．

高二第二学期理科数学期中考答题卷

题号

一

二

三

总分









15

16

17

18

19

20





得分





















一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案



















二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9、 10、 11、

12、 13、 _ _ 14、

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15(本小题满分12分)

已知
，函数
。

(1) 求函数
的最小正周期；

（2）求函数
的最大值及取得最大值时自变量
的集合．

16(本小题满分12分)

设数列
满足
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和

17(本小题满分14分)

如图，在底面是矩形的四棱锥
中，
⊥平面
，
，
,
是
的中点．

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

18、（本小题满分14分）已知函数
在
与
时都取得极值

(1)求
的值与函数
的单调区间

(2)若对
，不等式
恒成立，求
的取值范围。

19、（本小题满分14分） 已知椭圆C:
=1(a＞b＞0)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
，求△AOB面积的最大值.

20．（本小题满分14分）设函数
.

（Ⅰ）求函数
的极值点；

（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有
，求p的取值范围；

（Ⅲ）证明：

高二第二学期理科数学期中考试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1、设
则
等于( A )

3.在△ABC中，若
，则
A（ C ）。

A．90° B．60° C．120° D．150°

4.若复数
，则z的虚部等于（　B　）

　Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．
Ｄ．

5．抛物线
在点
处的切线与其平行直线
间的距离是（　C　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

6．.证明：
，当
时，中间式子等于（　D　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

8．对于
上可导的任意函数
，若满足
，则必有（ C ）

A．
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．若数列
满足，
且
，则此数列的通项公式为

10、已知函数
是定义在R上的奇函数,
,

,则不等式
的解集是
.

11．
i

12．
、
满足约束条件
则
的最大值是_______3_____

13．极坐标系中，曲线
和
相交于点
，则
＝
；

14如图已知
是圆
(
为圆心)的切线，切点为
，
交圆
于

两点，BC为圆的直径。

，
，则圆
的面积为
．

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

15.（12分）已知
，函数
。

(1) 求函数
的最小正周期；

（2）求函数
的最大值及取得最大值时自变量
的集合．

解：(1)
=
，……2分

即

……4分

……6分

16（12分）设数列
满足
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

(II)
，
…………7分

…………9分

，…………11分

…………12分

17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥
中，
⊥平面
，
，
,
是
的中点．

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

17．（Ⅰ）

，
，
.………2分
,
.

而
,
. ……………4分
，

. 　　……………………6分

（Ⅱ）设平面
的法向量
=
,令
，则
.

由
即

∴
=
. ………………11分

平面
的法向量
＝(0，0，2) ．

．

所以二面角
所成平面角的余弦值是
． 　　　　　　……………………14分

18．（14分）已知函数
在
与
时都取得极值

(1)求
的值与函数
的单调区间

(2)若对
，不等式
恒成立，求
的取值范围。

解：（1）
1分

由
，
得
4分

，函数
的单调区间如下表：





























(

极大值

(

极小值

(



所以函数
的递增区间是
与
,递减区间是
； 7分

19、（本小题满分14分） 已知椭圆C:
=1(a＞b＞0)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
，求△AOB面积的最大值.

19.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
，依题意

，。。。。。。。。。。。。。。3分

所求椭圆方程为
．。。。。。。。。。。。。。4分

（Ⅱ）设
，
．（1）当
轴时，
．。。。。。。。。。5分

（2）当
与
轴不垂直时，设直线
的方程为

由已知
，得
．。。。。。。。。。6分

把
代入椭圆方程，整理得

，
．。。。。。。。。。8分

当
最大时，
面积取最大值
．。。。。。。。。。14分

20．（本小题满分14分）

设函数
.（Ⅰ）求函数
的极值点；

（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有
，求p的取值范围；

（Ⅲ）证明：

解：（1）
，

…………1分

当
上无极值点 …………2分

当p>0时，令
的变化情况如下表：

x

(0，
)









+

0

－





↗

极大值

↘