南安一中2012～2013学年度高二下学期期中考

数学科（理科）试卷

试卷考试内容为：选修2-3及必修3第三章及选修4-2，满分１５０分，考试时间１２０分钟.

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.

2．作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

以下公式或数据供参考：

①独立性检验临界值表

概率

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



K0

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





②
；③
;

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,每题只有一个正确答案.

1．某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（　 　 ）

Ａ．
种 Ｂ．
种 Ｃ．50种 Ｄ．10种

2.随机变量
服从二项分布
～
，且
则
等于（ ）

A.
B.
C. 1 D.0

3．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）

A．6 B．12 C．18 D．24

4.在某一试验中事件A出现的概率为
，则在
次试验中
出现
次的概率为（ ）

A . 1－
B.
C. 1－
D.

5.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ）

A．96种 B．180种 C．240种 D．280种

6.在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是 （ ）

A．
B．C
C
C．C
－C
D．A
－A

7.已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7



则y与x的线性回归方程为
=bx+a必过 （ ）

A．点
　　 B．点
C．点
　　 D．点

8．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则
的值等于 （　 　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

9．设函数
.若从区间
内随机选取一个实数
,则所选取的实数
满足
的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．矩阵A
，向量
，则A

（ 　　）

A．
　 B．
C．
D．

11．给出以下四个说法：

①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每间隔
分钟抽取一件产品进行某项指标的检测 ，

这样的抽样是分层抽样；

②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数
的值越大，说明拟合的效果越好；

③在回归直线方程
中，当解释变量
每增加一个单位时，预报变量
平均增加
个单位；

④对分类变量
与
，若它们的随机变量
的观测值
越小，则判断“
与
有关系”的把握程度越大．

其中正确的说法是 （ ）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③

12．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为
，则函数
在
上为增函数的概率是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：每小题4分，共16分.

13.
展开式中含
项的系数等于 ．

14. 已知随机变量
服从正态分布
，
，则

15. 将7个不同的小球全部放入编号为2 和3 的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有____________ 种(用数字作答) .

16．如图，

为区间
上的
等分点，直线
，
，
和曲线
所围成的区域为
，图中
个矩形构成的阴影区域为
，在
中任取一点，则该点取自
的概率等于 ________ ．

三、解答题：本大题共6小题，其中第22题14分，其他每题12分，共74分。

17. 已知矩阵

（1）求逆矩阵
；

(2) 求矩阵
的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.

18. 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是
，出现绿灯的概率都是
．记这4盏灯中出现红灯的数量为
，当这排装饰灯闪烁一次时：

（1）求
时的概率；（2）求
的数学期望．

19. 口袋中有大小、质地均相同的7个球，3个红球，4个黑球，现在从中任取3个球。

(1)求取出的球颜色相同的概率；

(2)若取出的红球数设为
，求随机变量
的分布列和数学期望。

20. 工商部门对甲、乙两家食品加工企业的产品进行深入检查后，决定对甲企业的5种产品和乙企业的3种产品做进一步的检验.检验员从以上8种产品中每次抽取一种逐一不重复地进行化验检验.

(1)求前3次检验的产品中至少1种是乙企业的产品的概率；

(2)记检验到第一种甲企业的产品时所检验的产品种数共为X，求X的分布列和数学期望．

21. 今年十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意　　单位：名

男

女

总计



满意

50

30

80



不满意

10

20

30



总计

60

50

110



（1）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？

（2）从（1）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；

（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关.

（提示：可能需要用到的公式或数据可参考试卷第1页）

22. 规定
，其中
，
为正整数，且
，这是排列数
(
是正整数，且
)的一种推广．

（1）求
的值；

（2）排列数的两个性质：①
，②
(其中
是正整数)．是否都能推广到
(
，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；

（3）确定函数
的单调区间．

南安一中2012～2013学年度高二下学期期中考

数学科（理科）试卷参考答案

一、选择题：（5×12=60）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

D

C

C

D

C

C

B

D

B



二、填空题：（4×4=16）

13． 32； 14． 0.4 ； 15． 91 ； 16．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17．（12分）解: （1）

……………4分

(2)矩阵
的特征多项式为
，

令
，解得
, ………………… 8分

当
时，得
,当
时，得
. ………………………12分

18．（12分）（1）
…………………… 3分

即
时的概率为
…………………… 4分

（2）法一：依题意，
……………………12分

法二：
的可能取值为0，1，2，3，4

…………………… 10分

… 12分

19．（12分）解：（1）设“取出的球颜色相同”为事件

所以取出的球颜色相同的概率为
………………4分

（2）
的可能取值为0，1，2，3

……8分

的分布列为

0

1

2

3



P











 …………10分

……12分

20．（12分）解：（Ⅰ）
，

∴ 前3次检验的产品中至少1种是乙企业的产品的概率为
. ……………………4分

(Ⅱ) X可取值1，2，3，4

，
，

，
， …………………8分

X的分布列如下表：

X

1

2

3

4



P











 X的数学期望为：

. ……………………………………………12分

21．（12分）解：（1）根据分层抽样可得：样本中满意的女游客为
名，样本中不满意的女游客为
名。 …………………………3分

（2）设“选到满意与不满意的女游客各一名”为事件A

所以所求概率
。 …………………………7分

（3）假设
：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则
应该很小。

根据题目中列联表得：
……10分

由
可知，有99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关。

…………………………………………12分

22．(14分) 解：（1）
； …… 2分

（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是

①
， ②
． ……6分

证明：在①中，当
时，左边
，

右边
，等式成立；

当
时，左边

右边

左边=右边 即当
时，等式成立

因此①
成立 …… 8分

在②中，当
时，左边
右边，等式成立；

当
时，左边

右边，

因此②
成立． …………10分

（3）

先求导数，得
．

令
，解得
或
．

因此，当
时，函数为增函数，

当
时，函数也为增函数，

令
，解得
，

因此，当
时，函数为减函数，

函数
的增区间为
，
；减区间为
． ……14分