南安一中2012～2013学年度下学期期中考

高二数学科试卷(文)

考试内容：集合、函数、三角函数 考试时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：

1.如图所示，
是全集，
是
的子集，则阴影部分所表示的集合为

A.
B.
C.
D.

2.已知角
的终边经过点
，则
的值等于

A.
B.
C.
D.

3.下列函数中，值域为
的是

A.
B.
C.
D.

4.若
，则
的大小关系为

A.
B.
C.
D.
.

5.设
，则

A.
B.
C.
D.

6.在相距
千米的
、
两点处测量目标
，若
，则
、
两点之间的距离是

A.４千米 B.
千米 C.
千米 D.２千米

7.定义在
上的偶函数
满足：对任意的
，有
.则

A.
B.

C.
D.

８.根据表格中的数据，可以断定方程
的一个根所在的区间是

0

1

2

3

4





1

2.72

7.39

20.09

54.60





5

7

9

11

13



A.
B.
C.
D.

9.

A.
B.
C.
D.1

10.函数
的图象大致是

11.为得到函数
的图象，只需将函数
的图像

A.向左平移
个长度单位 B. 向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D. 向右平移
个长度单位

12.设
是定义在
上的周期函数，周期为
，对
都有
，且当
时，
，若在区间
内关于
的方程
＝0
恰有3个不同的实根，则
的取值范围是

A.（1，2） B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）：

13.函数
是幂函数，且在
上是增函数，则实数
　　▲　　.

14.现有关于函数
的命题，

①函数
是奇函数 ②函数
在区间［0，
］上是增函数

③函数
的图象关于点
对称 ④函数
的图象关于直线
对称

其中的真命题是　　　　▲　　　　.（写出所有真命题的序号）

15.已知
,
，
、
均为锐角，则
等于　　　　▲　　　　.

16.对于非空实数集
，记
．设非空实数集合
，满足
．

给出以下结论：

①
； ②
； ③
．

其中正确的结论是　　　　▲　　　　.（写出所有正确结论的序号）

三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：

17.(本题满分12分)

设全集
，已知集合
，集合
，.

（Ⅰ）求
，
；

（Ⅱ）记集合
，集合
，若
，求实数
的取值范围．

18.(本题满分12分)

已知函数

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，若
,
，
，求
的值.

19.(本题满分12分)

函数

（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；

（Ⅱ）若
，证明函数
在
上单调递增；

（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，解不等式
.

20.(本题满分12分)

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得
------③

令
有

代入③得
．

（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

（Ⅱ）若
的三个内角
满足
,试判断
的形状．

21.(本题满分12分)

某海边旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金
（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用
（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）.

（Ⅰ）求函数
的解析式及其定义域；

（Ⅱ）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

22.(本题满分14分)

已知定义在区间
上的函数
的图象关于直线
对称，

当
时，函数
，其图象如图所示.

（Ⅰ）求函数
在
的表达式；

（Ⅱ）求方程
的解；

（Ⅲ）是否存在常数
的值，使得
在

上恒成立；若存在，求出
的取

值范围；若不存在，请说明理由.

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高二数学科试卷(文)

参考答案

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

C

A

B

B

B

C

C

D

A

D



一、选择题

二、填空题

13.
14.②③ 15.
16. ①

三、解答题

17.解：（Ⅰ）∵集合
，

∴
，　　
………………………2分

∴
………………………4分

　　　　　　　　 …………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
　

又∵
，∴
………………………8分

又集合

∴
，解得
………………………11分

∴实数
的取值范围是
………………………12分

18.解：（Ⅰ）

………………………3分

最小正周期
………………………4分

由
得，
(
)

故
的单调递增区间为
(
) ………………………6分（Ⅱ）
,则


………………………7分

又
………………………9分

∵
∴
……………12分

19.解：（Ⅰ）该函数为奇函数 ………………………1分

证明：函数定义域为
关于原点对称 ………………………2分

对于任意
有
所以函数为奇函数. ……4分

（Ⅱ）
即
设任意
且

则


……6分

，即

∴
∴ 函数在
上单调递增. ………………8分

（Ⅲ）∵
为奇函数

∴
………………………10分

∵

函数
在
上单调递增

∴
∴
即
或
………………………12分

20.解：解法一：（Ⅰ）因为
， ①

， ② ………………………2分

①-② 得
. ③ ………………………3分

令
有
，

代入③得
. ……………6分

（Ⅱ）由二倍角公式,
可化为

, ………………………8分

即
. ………………………9分

设
的三个内角A,B,C所对的边分别为
，

由正弦定理可得
.………………………11分

根据勾股定理的逆定理知
为直角三角形. ………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,
可化为

， ………………………8分

因为A,B,C为
的内角，所以
，

所以
.

又因为
，所以
,

所以
.

从而
. ………………………10分

又因为
,所以
，即
.

所以
为直角三角形. ………………………12分

21.解：（Ⅰ）当

………………………2分

当
时，

， ………………………5分

故
………………………6分

（Ⅱ）对于
，

显然当
（元）， ………………………8分

………………………10分

∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多. ………………………12分

22.解：（Ⅰ）
，
…………1分

且
过
，∵

∴
………………………3分

当
时，

而函数
的图象关于直线
对称，则

即
，
………………………5分