2012—2013年下期高二中考试题

数学（理科）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．i是虚数单位，
= （ ）

A．1+2i B．-1-2i C．1-2i D．-1+2i

2．
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

3.下列式子不正确的是 ( )

A．
B．

C.
D．

4.下列函数中,在( 0,+∞ )上为增函数的是( )

A. y＝sin2x B. y＝x3－x C. y＝xex D. y＝ln(1＋x)－x

5. 函数
的单调递增区间是 ( )

A.
B．(0,3) C．(1,4) D.

6.下面几种推理是合情推理的是

（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；

（2）由平行四边形、梯形内角和是
，归纳出所有四边形的内角和都是
；

（3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；

（4）三角形内角和是
，四边形内角和是
，五边形内角和是
，由此得凸多

边形内角和是

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）

7.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第
个“金鱼”图需要火柴棒的根数为

A．
B．
C．
D．

8.函数
在定义域
内可导，其图象如图所示，记
的导函数为
，则不等式
的解集为 （??? ）

A．
?

B．

C．
D．

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

9.过抛物线y=
上一点A（1，0）的切线的倾斜角为45°则
=__________.

10．
_________________.

11.函数
=
－3
的递减区间是__________

12．已知
（
为常数），在
上有最小值
，那么在
上
的最大值是

13 、

14．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。

三．解答题。（共80分）

15.（12分）计算：

16. （12分）.已知函数
=a
+b
+c的图像经过点(0,1)，且在
=1处的切线方程是y=
－2.

求
的解析式；

17．（14分）
．

（1）求
的单调区间；（2）求函数
在
上的最值．

18．（14分）已知
，
是正实数，求证：

19．（14分）.已知函数
=ax3+cx+d(a≠0)在R上满足
=－
,

当x=1时
取得极值－2.

(1)求
的单调区间和极大值;

(2)证明：对任意x1,x2∈(－1,1),不等式│
│<4恒成立.

20、（14分）已知数列
的前
项和
．

计算
，
，
，
；猜想
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

2012—2013年下期高二中考试题

数学（理科）参考答案

一．1-4DDCC 5-8DCCA

二．9．1 10.i 11.(-1,1) 12.57 13.
14.14

三．．15.解:原式
（4分）

16解：由题意可知f(0)=1，f(1)=－1，
=1，.…………..6分

∴
解之得
.………….11分

∴
=
.…………..12分

17．解：依题意得，
，定义域是
．

（1）
, 令
，得
或
，

令
，得
， 由于定义域是
，

函数的单调增区间是
，单调递减区间是
．

（2）令
，得
，

由于
，
，
，

在
上的最大值是
，最小值是
．

18．证明：要证
，只需证

即证

即证
即证
，即

该式显然成立，所以

19．解：（1）由
=－
(x∈R)得.d=0∴
= ax3+cx ,
=ax2+c. ………2分

由题设f(1)=－2为
的极值,必有
=0∴
解得a=1,c=－3

∴
=3x2－3=3(x－1)(x+1) 从而
=
=0. …………4分

当x∈(－∞,－1)时,
>0则
在(－∞,－1)上是增函数; …………5分

在x∈(－1,1)时,
<0则
在(－1,1)上是减函数…………6分

当x∈(1,+∞)时,
>0则
在(1,+∞)上是增函数…………7分

∴
=2为极大值. …………9分

(2)由(1)知,
=
在[－1,1]上是减函数,且
在[－1,1]上的最大值M=
=2,在

[－1,1]上的最小值m= f(2)=－2. …………12分

对任意的x1,x2∈(－1,1),恒有│
│

20、解：（1）依题设可得
，
，
，
；

（2）猜想：
．

证明：①当
时，猜想显然成立． ②假设
时，猜想成立，

即
． 那么，当
时，
，

即
． 又
，

所以
，

从而
．

即
时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．