数 学 试 卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共50分)

一、选择题：（本题共10小题，每题满分5分，共50分）

1．复数
（是虚数单位）的虚部是( )

A．
B．
C．
D．

2．下列运算正确的是（ ）

A．
x B．
C．
D．

3．设
在
可导，则
等于( )

A．
B．
C．
D．0

4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A．某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人；

B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质；

C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

D．在数列
中，
，由此归纳出
的通项公式.

5．有四位老师在同一年级的4个班级中各教一个班级的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法总数是 (　　)

A．8种 B．9种 C．10种 D．11种

6．个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（ ）

A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓

7．给出下面类比推理命题：

①“若a·3=b·3，则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”；

②“若（a+b）c=ac+bc”类推出“
”；

③“
”类推出“
”；

④“
”类推出“
”，

其中类比结论正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知函数
是定义在R上可导函数，满足
，且
，对
时。下列式子正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1－1所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

10．设直线
与函数
的图像分别交于点
，则当
达到最小时的值为（ ）

A．1 B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上）

11．已知
为虚数单位)，则
____________．

12．函数
的单调增区间是__________

13．
_______________。

14．如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．

15．设
，定义
为
的导数，即
，
N
，若
的内角满足
，则
的值是 .

三、计算题（本题共6个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．(本题满分13分)已知函数
在
处有极大值7．

(Ⅰ)求
的解析式；

(Ⅱ)求
的单调区间；

17. (本题满分13分)已知
， 求证：

18. (本题满分13分)设f(x)＝a ln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．

19．(本题满分12分)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点．设
．

(1)某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒容积V（cm
）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

20 (本题满分12分).数列
的前n项和
，而
,

（1）求
的值

（2）猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明.

21.(本题满分12分) 已知函数

．

(Ⅰ)讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

(Ⅱ)若函数
在
处取得极值，且对

,
恒成立，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)当
且
时，试比较
的大小。

杨家坪中学高2014级高二下第一次月考 数学（理）答案

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共50分)

一、选择题：（本题共10小题，每题满分5分，共50分）

1．复数
（是虚数单位）的虚部是( )

A．
B．
C．
D．

【答案】D

2．下列运算正确的是（ ）

A．
x B．

C．
D．

【答案】D

3．设
在
可导，则
等于( )

A．
B．
C．
D．0

【答案】C

4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A．某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人；

B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质；

C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

D．在数列
中，
，由此归纳出
的通项公式.

【答案】C

5．有四位老师在同一年级的4个班级中各教一个班级的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法总数是 (　　)

A．8种 B．9种 C．10种 D．11种

答案：B

解析：四个老师中的任一人(例如A)先监一个班，由题意知有3种方法，由A所任班级选择一位老师监考，有3种方法，余下两人各不监本班，各有1种方法，所以共有3×3×1×1＝9(种)监考方法．

6．个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（ ）

A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓

【答案】D

7．给出下面类比推理命题：

①“若a·3=b·3，则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”；

②“若（a+b）c=ac+bc”类推出“
”；

③“
”类推出“
”；

④“
”类推出“
”，

其中类比结论正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

8．已知函数
是定义在R上可导函数，满足
，且
，对
时。下列式子正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】D

9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1－1所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

图1－1

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

答案：D　[解析] 在x＝－2左侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＞0，在x＝－2右侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＜0，所以函数在x＝－2处取得极大值；在x＝1左侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＜0，f′(x)＜0，在x＝1右侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＜0，所以函数在x＝1处没有极值；在x＝2左侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＜0，在x＝2右侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＞0，所以函数在x＝2处取得极小值．

10设直线
与函数
的图像分别交于点
，则当
达到最小时的值为（ ）

A．1 B．
C．
D．

【答案】D

【解析】由题
，
不妨令
，则
，令
解得
，因
时，
，当
时，
，所以当
时，
达到最小。即
。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上）

11．已知
为虚数单位)，则
____________．

【答案】-6

12．函数
的单调增区间是__________

【答案】

13．
_______________。

【答案】

14．如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．

【答案】：13

解析：①若一个点脱落，导致电路不通有2种情况．即1,4；

②若两个点脱落，导致电路不通有6种情况，分别是：1与2；1与3；2与4；3与4；2与3；1与4；

③若三个点脱落，导致电路不通有4种情况，分别是：

1与2与3；2与3与4；1与2与4；1与3与4；

④若四个点脱落，导致电路不通有1种情况，

即1与2与3与4.

由分类计数原理知，共有2＋6＋4＋1＝13种不同的情况．

15．设
，定义
为
的导数，即
，
N
，若
的内角满足
，则
的值是 .

【答案】

三、计算题（本题共6个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（13分）已知函数
在
处有极大值7．

(Ⅰ)求
的解析式；

(Ⅱ)求
的单调区间；

【答案】 (Ⅰ)
，

,

∴
．

(Ⅱ)∵
，由
得
解得
或

由
得
，解得

∴
的单调增区间为
，

的单调减区间为
．

17. （13分）已知

求证：

证明：由已知

要证
成立

只需证
成立

即证
成立

即证

即证
成立

即
也就是
成立

18. （13分）设f(x)＝a ln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．

解：(1)因f(x)＝a ln x＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.

(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，

f′(x)＝－－＋＝＝
.

令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．

当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．

故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．

当x=20时，V取极大值也是最大值. 此时，包装盒的高与底面边长的比值为

答:当x=20(cm)时包装盒容积V（cm
）最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为
.

21.(本题满分12分) 已知函数

．

(Ⅰ)讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

(Ⅱ)若函数
在
处取得极值，且对

,
恒成立，

求实数
的取值范围；

(Ⅲ)当
且
时，试比较
的大小。