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2013年重庆一中高2014级高二下期定时练习

数 学 试 题 卷(理科) 2013.4

数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一．选择题：（共10小题，每小题5分，共50分．请将唯一正确的选项选出来，并涂在机读卡上的相应位置）

1．设函数
，则
在
处的导数
（ ）

A．
B．0 C．1 D．2

2．
是虚数单位，复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．若
，则下列不等式不成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知积分
，则实数
（ ）

A．2 B．
C．1 D．

6．在用数学归纳法证明
时，则当
时左端应在
的基础上加上的项是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．观察下列事实：
的不同整数解
的个数为4 ，
的不同整数解
的个数为8，
的不同整数解
的个数为12，……，则
的不同整数解
的个数为（ ）

A．32 B．40 C．80 D．100

8．如图是一个简单几何体的三视图，其正视图和左视图是边长为2
的正三角形，其俯视图是边长为2
的正方形，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
是定义在
上的非负可导函数，且满足
，对任意正数
，若
，则必有（ ）

A．
B．
C．
D．

10．对任意正数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题：（共5小题，每小题5分，共25分．请将最简答案填在答题卷相应的位置．）

11．已知从
地到
地有2条公路可走，从
地到
地有3条小路可走，又从
地不过
地到
地有1条水路可走，那么从
地到
地的不同走法一共有______________种．

12．函数
的单调递减区间为________．

13．不等式
的解集为____________．

14．已知数列
，把数列
的各项排成如图所示的三角形数阵．记
为该数阵的第
行中从左往右的第
个数，则
_______．

15．如图，在三棱锥
中，
两两垂直，且
．设点
为底面
内一点，定义
，其中
分别为三棱锥
、
、
的体积．若
，且
恒成立，则正实数
的取值范围是___________．

三．解答题：（共6小题，其中16～18每小题13分，19～21每小题12分，共75分．请将每题的解答过程写在答题卷相应的答题框内）

16.（本小题13分）已知复数
（
）

⑴若
是实数，求
的值；

⑵若
是纯虚数，求
的值；

⑶若在复平面
内，
所对应的点在第四象限，求
的取值范围.

17. （本小题13分）已知函数
.

⑴若不等式
的解集为
，求实数
的值；

⑵在⑴的条件下，若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围.

18. （本小题13分）已知数列
的前
项和为
，且
，

.

⑴求
的值；

⑵猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明.

19. （本小题12分）如图，
与
是均以
为斜边的等腰直角三角形，
，
分别为
，
，
的中点，
为
的中点，且
平面
.

⑴证明：
平面
；

⑵求二面角
的余弦值.

20. （本小题12分）已知函数
．

⑴求
的极值；

⑵当
时，求
的值域；

⑶设
，函数
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，求
的取值范围．

21. （本小题12分）已知二次函数
，且不等式
对任意的实数
恒成立，数列
满足
，

.

⑴求
的值；

⑵求数列
的通项公式；

⑶求证
.

2013年重庆一中高2014级高二下期定时练习（本部）

数学参考答案(理科) 2013.4

选择题：

DBCDA DBCAB

二、填空题：

11．7； 12．
； 13．
； 14．101； 15．

三、解答题：

16．解：⑴
为实数

，解得：
或
；

⑵
为纯虚数

，解得：
；

⑶
所对应的点在第四象限

，解得：
．

17．解：⑴由
，即
，解得：
，又由条件该不等式的解为
，所以
，解得

⑵在⑴的条件下，
对一切实数
恒成立，即
对一切实数
恒成立，所以
．

又
，所以
．

18．解：⑴

，且

当
时，
，解得：
；

当
时，
，解得：

⑵由⑴可以猜想
的通项为

用数学归纳法证明如下：

①当
时，由条件知等式成立；

②假设当
（
且
）等式成立，即：

那么当
时，由条件
有：

；

，即
，

，即：当
时等式也成立．

由①②可知，命题对一切
都成立．

19．解：⑴证法一：连结
，交
于点
，连结
．

均为
的边的中点，

为
的重心，

又由条件
为
中点，
为
中点，

，

又
，

．

证法二：以O点为坐标原点,
的方向为
正方向建立空间直角坐标系数,则

设平面
的法向量为

则
，令
，则

所以
，所以
，所以
平面
．

⑵由⑴的证法二可知。平面
的法向量为
．设平面
的法向量为
，又
，则
，令
，则

设二面角
的平面角为
，则

又由图易知二面角
的平面角为锐角，
二面角
的余弦值为

20．解：⑴
，令
，解得：
（舍）或

当
时，