台州市六校2012-2013学年高二下学期第一次联考数学（理）试题

测试时间120分钟 满分120分

第I卷

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、一个物体的运动方程为
其中
的单位是米，
的单位是秒，那么物体在
秒末的瞬时速度是（ ）

A．
米/秒 B．
米/秒 C．
米/秒 D．
米/秒

2、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为
是实数，所以
，你认为这个推理（ ）

A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的

3、已知函数
，则
的导函数

A.
B.

C.
D.

4、函数
在一点的导数值为
是函数
在这点取极值的（ ）

A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件

5、观察按下列顺序排列的等式：
，
，
，
，
，猜想第
个等式应为（　 ）

A．
B．

C．
D．

6、某个命题与正整数有关，若当
时该命题成立，那么可推得

当

时该命题也成立，现已知当
时该命题不成立，那么可推得( )

(A)当
时，该命题不成立 (B)当
时，该命题成立

(C)当
时，该命题成立 (D)当
时，该命题不成立

7、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。

A.假设三内角都不大于60度； B.假设三内角都大于60度；

C.假设三内角至多有一个大于60度； D.假设三内角至多有两个大于60度。

8、若
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知函数
在R上可导，且
，则
与
的大小( )

　 A．
B．
C．
D．不确定

10、设函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f ((x)可能为（ ）

11、已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(　　)．

A．1 B．3 C．－4 D．－8

12、点
从点
出发，按逆时针方向沿周长为
的图形运动一周，
两点连线的距离
与点
走过的路程
的函数关系如图，那么点
所走的图形是( )

13、已知
的导函数为
，且
，则下面在
上恒成立的是（? ）

???
????
????

14、如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数
的图像大致为（ ）

填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

15、若
，则
的值为_________________；

16、曲线
在点
处的切线方程为___________________.

17、已知函数
（其中
）在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为___________________.

18、直线
与函数
的图像有相异的三个公共点，则
的取值范围是________________

19、用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取________．

20、类比余弦定理，在
DEF中有余弦定理：

. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-
的3个侧面面积之间的关系式（其中
为侧面为
与
所成的二面角的平面角）________________

三、 解答题（本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21、已知函数
，当
时，有极大值
；

（1）求
的值；（2）求函数
的极小值。

22、（本题12分）已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，（1）计算S1,S2,S3,S4,（2）根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.

23、用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

24、某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

25、已知函数

（I）若
是定义域上的单调函数，求
的取值范围；

（II）若
在定义域上有两个极值点

、
，证明：

 012—2013学年第二学期高二统练试题

参考答案与评分标准

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

±1 16、 2x-y+1=0 .

m ≥ 2 .18、 -2

8 .

20、

三、 解答题（本大题共5小题，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

22(本小题10分）.S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.

推测Sn＝(n∈N*)．用数学归纳法证明如下： …5分

(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；

(2)假设当n＝k时，等式成立，

即Sk＝，那么当n＝k＋1时，

Sk＋1＝Sk＋

＝＋

＝

＝

＝

＝＝.

也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．

根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，等式均成立．.....10分

23.(本小题10分）解设长方体的宽为x（m），则长为2x(cm)，高为

. …3分

故长方体的体积为

从而
…6分

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（cm3），此时长方体的长为2 cm，高为1.5 cm .…10分

答：当长方体的长为2 cm时，宽为1 cm，高为1.5 cm时，体积最大，最大体积为3 cm3。

24.(本小题10分）25.解：(本小题14分）（Ⅰ）f(x)＝－lnx－ax2＋x，f((x)＝－－2ax＋1＝－． …2分

法一：若f(x)在(0，＋∞)单调递增，则
在(0，＋∞)上恒成立，

由于
开口向上，所以上式不恒成立，矛盾。 …4分

若f(x)在(0，＋∞)单调递减，则
在(0，＋∞)上恒成立，

由于
开口向上，对称轴为
，故只须Δ＝1－8a
解得a≥。

综上，a的取值范围是[，＋∞)． …7分

法二：令Δ＝1－8a．当a≥时，Δ≤0，f((x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减．4分

当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，

则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f((x)＜0，当x∈(x1，x2)时，f((x)＞0，这时f(x)不是单调函数．

综上，a的取值范围是[，＋∞)． …7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0，)时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，

且x1＋x2＝，x1x2＝．

f(x1)＋f(x2)＝－lnx1－ax＋x1－lnx2－ax＋x2

＝－(lnx1＋lnx2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2)

＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1． …10分

令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]，

则当a∈(0，)时，g((a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)单调递减，

所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即f(x1)＋f(x2)＞3－2ln2． …14分