一、选择题

1. 以抛物线
的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为

A.
B.
C.
D.

2. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为

A．65辆 B．76辆

C．88辆 D．95辆

3. 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为

A．
B．
C．
D．

5. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为

A．
B.
C.
D.

6. 由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为

A．
B．1 C．
D．

7. 某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

A. 30种 B.35种 C.42种 D.48种

8.函数
的定义域为（0，+）且
为正数，则函数

A．存在极大值 B．存在极小值 C．是增函数 D．是减函数

9. 已知双曲线
的焦点为
、
，
为双曲线上一点，以

为直径的圆与双曲线的一个交点为
，且
，则双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．

10. 已知函数
（a，b∈R）在区间(1,1)上不单调，则a的取值范围是

A．
B．

C．
D．

二、填空题

11. 已知一个班20人的语文成绩的茎叶图 ，

则优秀率（不小于85分）是 %

12. 已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3-lnx在点p(1，1)处的切线互相垂直，则
为 .

13. 在1200的二面角-l-β内有一点P，P在平面
、β内的射影A、B分别落在半平面、β内，且PA=3，PB=4，则P到l的距离为 .

14.已知函数f(x)=
在[1,+∞）上为减函数，则a的取值范围是 .

15.已知动点
在椭圆
上，若A点坐标为
，
且
，则
的最小值是 .

三、解答题

16. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且

(1) 求角C的大小； （2）若a+b=5，c =
，求△ABC的面积.

17. 某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提前通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
，且每题正确完成与否互不影响. 求：

(1) 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.

19. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=
x2的焦点，离心率等于
.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

, ,求证:λ1+λ2为定值.

20. 已知函数
.

(1)求
的最小值；

(2)若对所有
都有
，求实数的取值范围.

21. 设双曲线C：
的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q.

(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T，且
，求点T的坐标；

(2)求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

(3)过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设
，若
（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围.

高二期中考试试卷答案

数学（理）

三、解答题

16.解：(1) ∵A+B+C=180°

由
…………1分

∴
……………3分

整理，得
…………4分

解 得：
……5分

∵
∴C=60° …………6分

（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab …………7分

∴
……………8分

由条件a+b=5得 7=25－3ab， ab=6 ………10分

∴
…………12分

17. 解：（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为
、，

则
取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3.…………………………………2分

，
，
.

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

1

2

3















……………………………4分

∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：

0

1

2

3

















………………………8分

。……………………………………………9分

（2）∵
，……………………………10分

。………………11分

（或
）。∴
。

∵
，
，

∴
。从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ………………………………12分

18. 解：（1）M为PC的中点，设PD中点为N，

则MN=
CD，且MN//
CD，∴MN=AB，MN//AB

∴ABMN为平行四边形，∴ＢＭ//ＡＮ，

又ＰＡ＝ＡＤ，∠ＰＡＤ＝９００

∴ＡＮ⊥ＰＤ，

又ＣＤ⊥ＡＮ，∴ＡＮ⊥面ＰＣＤ，∴ＢＭ⊥面ＰＣＤ

……6分

(2)延长ＣＢ交ＤＡ于Ｅ，

∵ＡＢ＝
CD。ＡＢ//
CD

∴ＡＥ＝ＡＤ＝ＰＡ，∴ＰＤ⊥ＰＥ

又∴ＰＥ⊥ＣＤ，∴ＰＥ⊥面ＰＣＤ，

∴∠ＣＰＤ为二面角Ｃ－ＰＥ－Ｄ的平面角；ＰＤ＝
ＡＤ，ＣＤ＝２ＡＤ；

∴tan∠ＣＰＤ＝

∴cos∠ＣＰＤ＝
………12分

（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为

易知F点的坐标为（2，0）.

将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得
………………………………10分

………………………………12分

方法二：设A、B、M点的坐标分别为
又易知F点的坐标为（2，0）.

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

…………………………………7分

…………………………………8分

令
，解得
；令
，解得
.从而
在
单调递减，在
单调递增. ………….. 5分

所以，当
时，
取得最小值
. ………….. 7分

（Ⅱ）解：

解法一：令
，

则
， ………….. 9分

① 若
，当
时，
，

故
在
上为增函数，

所以，
时，
，即
. ………….. 10分

② 若
，方程
的根为
，

此时，若
，则
，故
在该区间为减函数.

所以，
时，
，即
，与题设
相矛盾.

综上，满足条件的的取值范围是
. ………….. 13分

解法二：依题意，得
在
上恒成立，即不等式
对于
恒成立 . ………….. 8分

令
，则
. ………….. 10分

当
时，因为
，

故
是
上的增函数，所以
的最小值是
，……….. 12分

21. 解：（Ⅰ）由题，得
，设

则

由
…………①

又
在双曲线上，则
…………②

联立①、②，解得

由题意，

∴点T的坐标为（2，0） …………3分

（Ⅱ）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）

由A1、P、M三点共线，得

…………③

由A2、Q、M三点共线，得

…………④

（Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0。

故可设直线l的方程为
中，得

设

则由根与系数的关系，得
……⑤

……⑥ …………8分

∵
∴有

将⑤式平方除以⑥式，得

…………8分

由

…………10分

∵

又

故

…………12分