杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（理科）

注意：本试卷不得使用计算器

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数
的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

2.设
，且对任意的
，都有
，则

A.
B.
C.
D.

3. 设函数
，其导函数的图象如右图所示，则函数
的减区间是

A.
B.

C.
D.

4.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数
，若
，则
是函数
的极值点.因为
在
处的导数值
，所以
是
的极值点. 以上推理中

A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确

5.函数
在
处的切线方程是

A．
B．
C．
D．

6.设
，
，
，则
的大小关系为

A．
B．
C．
D．

7.若函数
在区间
单调递增，则m的取值范围为

A．
B．
C．
D．

8. 在
的展开式中，
的系数是

A．
B．
C.
D．

9. 若函数
满足
，设
，
，则
与
的大小关系为

A．
B．
C.
D．

10.某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11.观察下列式子：
,
,
,
,…… ,则可以归纳出第

个式子为

12.在复平面内, 复数1 + i与2i分别对应向量
和
, 其中
为坐标原点,则向量
所对应的复数是 .

13.已知二项式
的各项系数和为
，则
的常数项为 .















14. 已知数列
为等差数列,若
,

,则
.类比上述结论,对于等比数列

,若

,则可以得到
＝____________.

15.某农场有如图所示的2行3列共六块土地，现有萝卜、玉米、油菜三类蔬菜可种.

要求每块土地种一类蔬菜，每类蔬菜种两块土地，每行的蔬菜种类各不相同，则

恰有一类蔬菜种在同列的种植方法数为 .

16.函数
在区间
上的最小值为 .

17.若对任意的
，存在实数
，使得关于
的不等式
恒成立，则t的取值范围是 .

杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．

11． 12．

13． 14．

15. 16.

17.

三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本题满分8分）已知
，函数
.

（Ⅰ）求
的极值(用含
的式子表示)；

（Ⅱ）若
的图象与
轴有3个不同交点，求
的取值范围.

19.（本题满分10分）

（Ⅰ）设
，求证：
；

（Ⅱ）设
，求证：三数
，
，
中至少有一个不小于2.

20. （本题满分12分）设正项数列
的前
项和
，且满足
.

（Ⅰ）计算
的值，猜想
的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）设
是数列
的前
项和，证明：
.

21. （本题满分12分） 设函数
.

（Ⅰ）判断
能否为函数
的极值点，并说明理由；

（Ⅱ）若存在
，使得定义在
上的函数
在
处取得最大值，求实数
的最大值.

杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（理科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

A

B

A

A

D

A

D

D

C





二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．

11．
12．

13． 6 14．

15.
16.

17.

三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.解：（Ⅰ）令
，得：
或-3.

当
或
时，
；

当
时，
；

故
在区间
，
单调递增；在区间
单调递减…………..3’

于是
的极大值
，极小值为
………………...1’

（Ⅱ）令
，………………………………………………………………3’

得
………………………………………………………………………1’

19.（Ⅰ）证法一：要证：

即证：

即证：

即证：

由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证……………

…………………………….5’

证法二：要证：

即证：

由基本不等式
，可得上式成立，故原不等式得证. …………………..5’

20. （Ⅰ）解：当n=1时，
，得
；
，得
；

，得
.猜想
………………………………………….2’

证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.

（ⅱ）假设当n=k时，
……………………………………………………………………….1’

则当n=k+1时，

结合
，解得
……………………………………………………………………..2’

于是对于一切的自然数
，都有
………………………………………………………1’

（Ⅱ）证法一：因为
，……………………………………3’

…….3’

证法二：数学归纳法

证明：（ⅰ）当n=1时，
，
，
………………………………….1’

（ⅱ）假设当n=k时，
………………………………………………………………1’

则当n=k+1时，

要证：

只需证：

由于

所以
………………………………………………………………3’

于是对于一切的自然数
，都有
…………………………………………….1’

21. （Ⅰ）
，令
，得
；………………………………2’

当
时，
，于是
在
单调递增，在
单调递减，

在
单调递增.

故当
时，
是
的极小值点………………………………………………………….2’

（Ⅱ）
.

由题意，当
时，
恒成立………………………………………………………..2’

易得
，令
，因为
必然在端点处取得最大值，即
………………………………………………………4’

即
，即
，解得，
，所以
的最大值为
……………………………………………………

……………………………..2’