湖北省孝感高级中学2012~2013学年度下学期期中考试

二年级（理科数学）

命题人：蒋志方 考试时间：2013年5月3日 满分150分

一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 命题“
使
”的否定是( )

A.
使
B.
使

C.
使
D.
使

2.
( )

A．
B．
C．
D．

3.已知命题
椭圆、双曲线、抛物线和圆统称为圆锥曲线。命题
微积分是由牛顿和莱布尼茨于17世纪中叶创立的。则以下命题中为真命题的一个是( )

A.
B．
C.
D．

4.已知点
是函数
的图像上一点，且
，则该函数图象在点
处的切线的斜率为( )

A．
B．
C．
D．

5.如右图，平行六面体
中，
与
的

交点为
.设
，则下列向量中与

相等的向量是（ ）

6.有以下命题：

①已知
是函数
的最大值，则
一定是
的极大值

②椭圆的离心率为
，则
越接近于1，椭圆越扁；
越接近于0，椭圆越圆.

③若函数
的导函数
，则

其中，正确的命题的个数是( )

A. 3 B. 2 C. 1 D.0

7.已知双曲线
的实轴在
轴上.且焦距为
，则此双曲线的渐近线的方程为( )

A．
. B.
C.
D.

8.“
”是“
有极值”的( )

A．充分而非必要条件 B．充要条件

C．必要而非充分条件 D．既非充分又非必要条件

9.已知实数
,则下列不等式中不能恒成立的一个是： ( )

A.
B.

C.
D.

10.已知线段
的长为
,以
为直径的圆有一内接梯形

，且
，若椭圆以
为焦点，且经过

点
，则该椭圆的离心率的范围是( )

A．
B．

C．
D．

二、填空题：(本题共5小题，每小题5分，共25分. )

11. 抛物线
的焦点坐标为： .

12.
_.

13.正方体
的棱长为1，点
是棱
的中点，点
在线段
上运动，则
两点间的最小距离为： _.

14.中心在坐标原点，与椭圆
有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线的方程为______ __．

15. 定义：曲线
上的点到直线
的距离的最小值称为曲线
到直线
的距离；现已知曲线
到直线
的距离等于
，则实数
的值为 .

三.解答题（共6小题，共75分，解答题必须要写演算步骤，证明过程，文字说明）

16.(本小题满分12分)已知空间向量
，
， 且
，

，求
的值；

17. (本小题满分12分)已知函数
．

（Ⅰ）若
时，
取得极值，求
的值；

（Ⅱ）若对任意
，直线
都不是曲线
的切线，求
的取值

范围．

18.(本小题满分12分) 已知抛物线
，焦点为
，直线
过点

（Ⅰ）若直线
与抛物线
有且仅有一个公共点，求直线
的方程

（Ⅱ）若直线
恰好经过点
且与抛物线
交于
两不同的点，求弦长
的值。

19.( 本小题满分12分)如图，直三棱柱体
的侧棱长为
，

,且
，点
分别是棱
上的动点，

且
，

(Ⅰ)求证

(Ⅱ)当三棱锥
的体积取得最大值时，求二面

角
的正切值.

20. (本小题满分13分) 已知椭圆
的右焦点为
，
为椭

圆的上顶点，
为坐标原点，且两焦点与短轴的两端点为顶点的四边形是边长

为
的正方形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线
交椭圆于
两点，且使
为△
的垂心？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分14分）已知
，函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极值点；

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

（注：
为自然对数的底数）

孝感高中2012-2013学年度下学期期中考试

高二数学（理）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

A

D

A

C

B

C

D

C



二、填空题

11.
12.
13.
14.
15.

三.解答题

16.解：
，
………………4分

………………6分

又由
得
，故： ………………8分

联立两方程解得：
；或
………………12分

17. 解：（Ⅰ）
，当
时，

当
时，
，
时，
，

所以
在
处取得极小值，即
符合题意。………………6分

(III)因为
，直线
都不是曲线
的切线，

所以
对
成立， ………………9分

只要
的最小值大于
即可，

而
的最小值为

所以
，即
………………12分

18. 解:（Ⅰ）因为直线
与抛物线
有且仅有一个公共点

当直线与抛物线的对称轴平行时，
：
………2分

当直线与抛物线的对称轴不平行时，设
：

与抛物线的方程联立得
， ………4分

则
，故此时直线
的方程为：

或

综上，所求直线直线
的方程为：
或
或
……7分

（Ⅱ）设
，

因为直线
恰好经过点
．故
：
， ……8分

代入抛物线方程得

得
．
……10分

所以弦长
……12分

19. 解析建立如图所示直角坐标系：则
，

………………2分

(Ⅰ)
，
………………5分

(Ⅱ)三棱椎
的体积为：

. ………………7分

所以当
即点
分别是棱
上的中点时，

体积最大，……………9分

故此时所求二面角的正切值为
………………12分

20. 解：(Ⅰ)由两焦点与短轴的两端点为顶点构成边长为
的正方形得：

所以椭圆方程的为
………………4分

(Ⅱ)假设存在直线
交椭圆于
两点，且使
为△
的垂心

设
，
，故
，故直线
的斜率
所以设直线
的方程为
，由
得

由题意知△＞0，即
＜3 ……………………7分

且

由题意应有
，又

故
…………9分

，解得
或
……11分

经检验，当
时，△
不存在，故舍去
；

当
时，所求直线
满足题意

综上，存在直线
，且直线
的方程为
……13分

21. 解：（Ⅰ）若
，则
，
．

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减． ……2分

又因为
，
，所以 ……3分

当
时，
；当
时，
；

当
时，
；当
时，
． ……5分

故
的极小值点为1和
，极大值点为
． ……6分

（Ⅱ）不等式
，

整理为
．…（*）

设
，则
（
）

．