湖北省孝感高级中学2012~2013学年度下学期期中考试

二年级（文科数学）

命题人：蒋志方 考试时间：2013年5月3日 满分150分

一、选择题:(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.抛物线
的焦点坐标为( )

A.
B.
C.
D.

2. 下面的命题中，是真命题的一个是( )

A. 若
，则
B. 若
，则

C. 若
，则
D. 若
，则

3.下列抛物线中，开口最大的一个是( )

A.
B．
C.
D．

4. 已知点
是函数
的图像上一点，且
，则该函数图象在

点
处的切线的斜率为( )

A．
B．
C．
D．

5.有以下结论:

椭圆、双曲线、抛物线和圆统称为圆锥曲线;

微积分创立于十七世纪中叶，它的创立与求曲线的切线直接相关;

若函数
的导函数
，则

其中正确的结论个数是 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

6. “
”是“
”成立的 ( )

A.充分而非必要条件 B.充要条件

C.必要而非充分条件 D.既非充分又非必要条件

7. 若不等式
的解集为
,则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8. 若
，函数
在
处有极值，则
的最大值为：（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知函数
，则
( )

A.
B.
C.
D.

10. 已知实数
,则下列不等式中恒成立的一个是： ( )

A.
B.

C.
D.

二、填空题:(本题共7小题，每小题5分，共35分)

11. 抛物线
的准线过点
，则
.

12. 已知
，
则
的大小顺序是： . （请用不等号“
”把三个数
连接起来）

13. 已知定义在
上的函数
的导函数
图像如右图所示，则函数
的极大值点是： . （把你认为是极大值点的值都填上，多个用“，”隔开）

14. 绝对值不等式组
的解集是： .

15. 函数
的单调递减区间为 .

16.右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽 米.

17. 定义：曲线
上的点到直线
的距离的最小值称为曲线
到直线
的距离；现已

知抛物线
到直线
的距离等于
，则实数
的值为 .

三、解答题：(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

18. (本小题满分12分)已知实数
满足
,求证:

19. (本小题满分12分) 已知抛物线
，焦点为
，直线
过点

（Ⅰ）若直线
与抛物线
有且仅有一个公共点，求直线
的方程

（Ⅱ）若直线
恰好经过点
且与抛物线
交于
两不同的点，求弦长
的值。

20. (本小题满分13分) 某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为
，按交通法规定：这段公路车速限制在
（单位：
）之间。假设目前油价为
（单位：
），汽车的耗油率为
（单位：
）, 其中
（单位：
）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量。租车需付给司机每小时的工资为
元，不考虑其它费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速
是多少？（注：租车总费用=耗油费+司机的工资）

21. (本小题满分14分) 已知函数

（Ⅰ）当
时
取得极小值
求
的值；

（Ⅱ）当
时，若在区间
上至少存在一点
，使得
成立，

求实数
的取值范围。

22.(本小题满分14分) 设
为抛物线
上的两个动点，过
分别作抛

物线
的切线
，与
轴分别交于
两点，且
，
，则

（Ⅰ）求点
的轨迹方程

（Ⅱ）求证：
的面积为一个定值，并求出这个定值

孝感高中2012-2013学年度下学期期中考试

高二数学（文）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

B

D

C

A

B

D

C

D



二、填空题

11.
12.
13.

14.
15.

16.
17.

三.解答题

18. 证法一：消b,化为a的二次函数,

由
，得
代入左边得： ……2分

左边
……5分

……8分

……12分

其它证法酌情给分，证法参考两例：

证法二：（放缩法）∵
, ∴左边＝

＝右边

证法三：（均值换元法）∵
，所以可设
，
，

∴左边＝

＝右边，

当且仅当t=0时，等号成立.

19. 解:（Ⅰ）因为直线
与抛物线
有且仅有一个公共点

当直线与抛物线的对称轴平行时，
：
………2分

当直线与抛物线的对称轴不平行时，设
：

与抛物线的方程联立得
， ………4分

则
，故此时直线
的方程为：

或

综上，所求直线直线
的方程为：
或
或
……7分

（Ⅱ）设
，

因为直线
恰好经过点
．故
：
， ……8分

代入抛物线方程得

得
．
……10分

所以弦长
……12分

20. 解析：依题意：设总费用为
，则：

……………4分

…………6分

， …………9分

当且仅当
即
时取等号； ……12分

故当车速为

时，租车总费用最少，为
元 ……13分

21. 解：（1）
解得： ……………(4分)

……………(6分)

（2）

，
………(7分)

：
上恒成立，
在
上单调递减

则

………(10分)

：
在
上单调减，
上单调递增

，故无解 …………(13分)

综上所求
的取值范围是：
………(14分)

22. 解：（Ⅰ）设
，

即
.....

同理，
...... …………3分

联立①，②，得

......

又令①，②式中的
得

因为
，所以得
……………5分

即
代入式得

所求点
的轨迹方程为：
………………7分

（Ⅱ）设
又由
得

所以
……………9分

∴
到
的距离为

………………12分

∴

∴
的面积为定值2 ………………14分