杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（文科）

注意：本试卷不得使用计算器

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数
的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

2.设
，且对任意的
，都有
，则

A.
B.
C.
D.

3. 设函数
，其导函数的图象如右图所示，则函数
的减区间是

A.
B.
C.
D.

4.函数
在
处的切线方程是

A．
B．

C．
D．

5. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数
，若
，则
是函数
的极值点.因为
在
处的导数值
，所以
是
的极值点.以上推理中

A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确

6.设
，则三数
，
，
中

A．都不小于2 B．都不大于2

C．至少有一个不小2 D．至少有一个不大于2

7.若函数
在区间
单调递增，则m的取值范围为

A．
B．
C．
D．

8.设
，
，
，则
的大小关系为

A．
B．
C．
D．

9.设函数
有两个零点，则
的范围为

A.
B.
C.
D.

10.若函数
满足
，设
，
，则
与
的大小关系为

A．
B．
C.
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11. 观察下列式子：
,
,
,
,…… ,则可以

归纳出第n个式子为 .

12.阅读如图所示的知识结构图，“求简单函数的导数”的“上位”要

素有________个．

13.在复平面内, 复数1 + i与2i分别对应向量
和
, 其中

为坐标原点,则向量
所对应的复数是 .

14. 已知函数
在
处时取得极值为

0，则
．

15.在平面内，三角形的面积为s，周长为c，则它的内切圆的半径
.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R= .

16.函数
在区间
上的最小值为 .

17.若对任意的
，关于x的不等式
恒成立，则
的取值范围是 .

杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷(文科)

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．

11． 12．

13． 14．

15. 16.

17.

三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. （本题满分8分）已知函数
.

（Ⅰ）求
的极值(用含m的式子表示)；

（Ⅱ）若
的图象与x轴有3个不同交点，求m的取值范围.

19. （本题满分8分）设
，求证：
.

20. （本题满分12分）如图，在
中，
，四边形
为矩形，且平面

平面
，

（I）求证：
平面
；

（II）若点M为线段ED的中点，求平面
与平面
所成锐二面角的正切值.

21. （本题满分14分）设函数
.

（Ⅰ）判断
能否为函数
的极值点，并说明理由；

（Ⅱ）若
，求
的单调递增区间；

（Ⅲ）若存在
，使得定义在
上的函数
在
处取得最大值，求实数
的最大值.

杭州二中2012学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（文科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

B

A

A

C

A

D

C

D





二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．

11．
12． 3

13．
14． -15

15.
16.

17.

三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.解：（Ⅰ）令
，得：
或-3.

当
或
时，
；

当
时，
；

故
在区间
，
单调递增；在区间
单调递减…………..3’

于是
的极大值
，极小值为
………………...1’

（Ⅱ）令
，………………………………………………………………3’

得
………………………………………………………………………1’

19.（Ⅰ）证法一：要证：

即证：

即证：

即证：

由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证…………………

……………………….8’

证法二：要证：

即证：

由基本不等式
，可得上式成立，故原不等式得证. …

…………..8’

20. 如图，在
中，
，四边形
为矩形，且平面

平面
，

（I）求证：
平面
；

（II）若点M为线段ED的中点，求平面
与平面
所成锐二面角的正切值.

（I） 证明： 由
，得
，

又平面

平面
，平面

平面
，
平面
，于是

平面
……………………………………..5’

（II）解：(综合几何法)延长CD、AM交于一点F，连FB，过C作
于点G，连AG.

由于
，
，故
平面
，

于是
，又
，故
，于是
为所求角………4’

由M是AF的中点，于是CF=2，故
，……………….2

于是在
中，
…………………………………..1’

(向量法)如图建立平面直角坐标系，设所求角为
，

则
，
，
，
，

，
，

设平面
的法向量
，于是
，

即
，令
，则
，
，于是

.……………………………………………………………………………3’

易得平面
的法向量
，………………………………………………….3’

于是
，于是
………………………………….1’

21. （Ⅰ）
，令
，得
；………………………………2’

当
时，
，

于是
在
单调递，
不是
的极小值点………

…………….2’

（Ⅱ）
，

当
时，
在
上单调递增；…………………….1’

当
时，
在
上单调递增，
上单调递增；………..1’

当
时，
在
单调递……………………………………………………………………….2’

（Ⅲ）
.

由题意，当
时，
恒成立………………………………………………………..1’

易得
，令
，因为
必然在端点处取得最大值，即
………………………………………………………2’

即
，即
，解得，
，所以
的最大值为
………………………………………

……………………………………..1’