嘉兴市第一中学2012学年第二学期期中考试

高二数学（理科） 试题卷

命题：邬佩弦 审题：沈志荣

满分[ 100]分 ，时间[120]分钟 2013年4月

一.选择题

1．根据导数的定义，
等于 （ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

2.
是虚数单位，则复数
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（ ）

A、假设三个内角都不大于60° B、假设三个内角都大于60°

C、假设三个内角至多有一个大于60° D、假设三个内角至多有两个大于60°

4．曲线
在
处的切线平行于直线
，则
点的坐标为（ ）

A．
B．

C．
和
D．
和

5.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为 ( )

A.24 B.22

C.20 D.12

6．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝ ( 　)

A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)

7． 已知复数z＝
，则|z|＝ （ ）

A.
B.
C. 1 D. 2

8．下列求导运算正
确的是 ( )

A．(x+
B．(log2x
=
C．(3x
=3xlog3e D．(x2cosx
=－2xsinx

9.设
，
为复数，则下列四个结论中正确的是 （ ）

A．若
，则
B．

C．
D．
是纯虚数或零

10．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由
这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 ( )

Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120

11．设集合
．选择集合
的两个非空子集A和B，要使集合B中最小的数大于集合A中最大的数，则不同的选择方法共有 （ ）

A
．16种 B．17种 C．18种 D．19种

12．已知函数
在
处取得极大值,在
处取得极小值,

满足
,
,则
的取值范围是 ( )

A．
　B．
　　
C．
　 D．

二、填空题：

13． 用数学归
纳法证明

时，由
的假设到证明
时，等式左边应添加的式子是 ．

14．已知函数
则
等于 .

15. 若
,那么
的值是

16.甲、乙、丙
人站到共有
级的台阶上，若每级台阶最多站
人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

17.在等比数列
中，若前
项之积为
，则有
.那么在等差数列
中，若前
项之和为
，用类比的方法得到的结论是 .

18．若函数
在区间（
）上不是单调函数，则实数a的取值范围是_ _．嘉兴市第一中学2012学年第二学期期中考试

高二数学（理科） 答题卷

满分[100 ]分 ，时间[120 ]分钟 2013年4月

选择题(每小题3分,共36分)

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 11

 12



答案





























填空题(每小题3分,共18分)

13. , 14. , 15. .

16. , 17. , 17. .

解答题(共46分)

19.已知函数
．

（1）求
；（2）求函数
的单调区间．

20.设复数z＝，若z2＋
z＋b＝1＋i，求实数
、b的值．

21.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.

(1)43251是这个数列的第几项？

(2)这个数列的第96项是多少？（写出解题过程，否则不给分）

22.数列

⑴计算

⑵用数学归纳法证明（1）中的猜想。

23.已知函数
在x＝2处取得极值。

（1）求实数a的值；

（2）
（e为自然对数的底数），若存在
（0,2），对任意
，总有
≥0，求实数m的取值范围。

24．已知定义在实数集上的函数
，其导函数记为
，且满足
，
为常数，
．

（1）试求
的值；

（2）记函数
，
，若
的最小值为6，求实数
的值；

（3）对于（2）中的
，设函数
，
（
）是函数
图象上两点，若
，试判断
的大小，并加以证明．

嘉兴市第一中学2012学年第二学期期中考试

高二数学（理科） 参考答案及评分标准

命题人：邬佩弦 审核人:沈志荣

选择题(每小题3分,共36分)

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 11

 12



答案

 C

 C

 B

 C

 D

 D

 A

 B

 D

 C

 B

 B





填空题(每小题3分,共18分)

13.
, 14.
, 15. i .

16. 336 , 17.
, 17.
.

解答题(共46分)

19.解：（1）∵
，…… （1分）

∴
…… （3分）

（2）∵

当
时，也即当
或
时，
单调递增； 4分

当
时，也即当
时，
单调递减； 5分

∴函数
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
． 6分

20. 解：　z＝＝

＝＝＝1-i 2分

将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，

(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i， 4分

∴

∴ 6分

21．⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类

第一类：以5打头的有：
=24 第二类：以45打头的有：
=6

第三类：以435打头的有：
=2………………………3分

故不大于43251的五位数有：
（个）

即43251是第88项. 4分

⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，

即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，

所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321. 8分

22（1）当
　　　∴a1＝1

当

当
　　　∴

当
时，
　　∴

由此猜想

⑵证明：①
结论成立 （1）

②假设

即
　　　 （2）

当
时

∴
　　　∴

∴当
时结论成立 （3）

由①②知猜想
成立 （4）

说明： 答案中所标的（1）（2）（3）（4）没有的一步扣一分。

23.解：（1）
．

,

函数f(x)＝ax－－6lnx在
处取得极值

，即
，解得

检验: 当
时

；
；

函数f(x)在
处有极小值．

所以
.

（2）由（1）知，f(x)＝2x－
－6lnx，

当
时，
，
在
上是增函数；

当
时，
，
在
上减函数；

所以
在
上的最大值为
．

因为g(x)＝(x－3)ex－m ， 所以
在[2，3]上恒成立

所以
在
上单调递增，其值域为

若存在x1∈(0，2)，对任意x2∈[2，3]，总有f(x1)－g(x2)≥0成立

即
， 也就是
，

即
.

24．解：（1）
，
，

依题意，
，得，
． 3分

（2）

,
，

①若
，
，
在
上单调递减，

的最小值是
，由
得，
（舍去）；

②若
，
，令
得
，

当
时,
,
在
上单调递减;

当
时,
,
在
上单调递增;

所以
的最小值是
，由
得，
． 6分

（3）
，结合图象猜测
．

只需证
，∵
，故只需证
，

即证：
，且
，

设
，
，当
时，
，

∴
在
上是增函数，
，∴
，即
，

，则
，当
时，
，

∴
在
上是减函数，
，∴
，即
．

综上所述，
．