命

题/校对：范晋华

一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分）

1. 参数方程
(0≤t≤5)表示的曲线（形状）是

2. 在
的展开式中，
项的系数是 （用数字作答）.

3．把极坐标方程ρ=2sin(
+θ)化为直角坐标方程为 .

4． 若直线
（为参数）与直线
（为参数）垂直，则
. 5．设随机变量X的分布为
，则的值为 ．

6.
的展开式中x的系数是 .

7. 若(x,y)与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲线：①θ=
和sinθ=
； ②θ=
和tanθ=
； ③ρ2－9=0和ρ= 3；

④
和
. 其中表示相同曲线的组数为 .

8. 若
，且n为奇数，则
被8除所得的余数是 ．

9. 设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M，N两点(位置关系) 关于 对称.

10. 满足
的最大自然数n= ．

11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为
，则x在(0，2)内的值为___________．

12．直线ρ=
与直线l关于 直线θ=
(ρ∈R)对称，则l的极坐标方程是 .

13．设正四面体的四个顶点是
各棱长均为1米，有一个小虫从点开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条 棱的尽头，则它爬了
米之后恰好再次位于顶点的概率是 （结果用分数表示）．

14．如图，一环形花坛分成
共五块，现有4种

不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种

不同的花，则不同的种法总数为 ．

二、解答题：

15. （本题满分15分）

（1）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值.

（2）对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．对于下列事件：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套.试判断事件A与B是否独立？并证明你的结论．

16．（本小题满分14分）已知
的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的

（Ⅰ）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；

（Ⅱ）求展开式中的有理项．

17．（本小题满分15分）2012年3月2日，江苏卫视推出全新益智答题类节目《一站到底》，甲、乙两人报名参加《一站到底》面试的初试选拔，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次抢答都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题初试才能通过．

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人初试通过的概率．

18. （本题满分15分）有6本不同的书，按照以下要求处理，各有多少种不同的分法？

（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；

（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；

　　（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；

（4）平均分给甲、乙、丙三人；

（5）平均分成三堆．

19．（本题满分15分）规定
=
，其中
是正整数，且
=1，这是组合数
(
是正整数，且
)的一种推广．

(1)求
的值；

(2)设
，当为何值时，
取得最小值?

(3)组合数的两个性质：①
=
； ②
+
=

是否都能推广到
(
是正整数)的情形?若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

20．（本题满分16分）

(1) 在直角坐标系xOy中，曲线
的参数方程为
为参数），M为
上的动点，P点满足
，点P的轨迹为曲线
．已知在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与
的异于极点的交点为A，与
的异于极点的交点为B，求|AB|．

(2) 某旅游景点给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，…，第8行9个铁钉之间有8个空隙(如图所示)．东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付给庄家2元．若小球到达①②③④号球槽，分别奖4元、2元、0元、-2元．(一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内)．恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有80人次玩．试用你学过的知识分析，这一小时内游戏庄家是赢是赔? 通过计算，你得到什么启示?

实验中学2012-2013学年度第二学期期中考试试题

高二数学（理） 命题/校对：范晋华

4．若直线
（为参数）与直线
（为参数）垂直，则
.—1
7. 若(x,y)与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲线：

9. 设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M，N两点(位置关系) 关于 直线θ=
对称.

13．设正四面体的四个顶点是
各棱长均为1米，有一个小虫从点开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头，则它爬了
米之后恰好再次位于顶点的概率是 （结果用分数表示）．

解：
，圆ρ=2cosθ的普通方程为：
，即

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：
，…………………4分

又圆与直线相切，所以

解得：
，或
. ………………………………7分

∵P（AB）= = ,
=
，……………………13分

∴
≠
，故A与B是不独立的．………………………15分

解：根据题意，设该项为第r+1项，则有
…………………3分

17．（本小题满分15分）2012年3月2日，江苏卫视推出全新益智答题类节目《一站到底》，甲、乙两人报名参加《一站到底》面试的初试选拔，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次抢答都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题初试才能通过．

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人初试通过的概率．

其分布列如下：

0

1

2

3



P











 ……………………6分

甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=
．……………8分

18. （本题满分15分）有6本不同的书，按照以下要求处理，各有多少种不同的分法？

（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；

（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；

　　（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；

（4）平均分给甲、乙、丙三人；

（5）平均分成三堆．

解：（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有
种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有
种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有
种取法，故共有分法


=60种．……………………3分

　

（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有
种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有
种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有
种方法，

所以一共有
=90种方法．……………………12分

19．（本题满分15分）规定
=
，其中
是正整数，且
=1，这是组合数
(
是正整数，且
)的一种推广．

∵
当且仅当
时，取等号

∴当
时，
取得最小值．……………………8分

(3)性质①不能推广．例如当
时，
有意义，但
无意义；

性质②能推广，其推广形式是：
，
是正整数，

……………………12分

事实上，当
时，有
，

20．（本题满分16分）

即

从而
的参数方程为
（为参数）……………………4分

(2) 某旅游景点给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，…，第8行9个铁钉之间有8个空隙(如图所示)．东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付给庄家2元．若小球到达①②③④号球槽，分别奖4元、2元、0元、-2元．(一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内)．恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有80人次玩．试用你学过的知识分析，这一小时内游戏庄家是赢是赔；通过计算，你得到什么启示?

解：游人每玩一次，设游戏庄家获利为随机变量
(元)；游人每放一球，小球落入球槽，相当于做7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量+1，

则～B(7，
)．……………………10分

一小时内有80人次玩．游戏庄家通常获纯利为(2+
×)80=225(元)

答：庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑． ……………………16分