嘉兴市第一中学2012学年第二学期期中考试

高二文科数学 试题卷

满分[ 100]分 ，时间[120]分钟 2013年4月

一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 数
，则
在复平面内的对应点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知复数
满足
，
为虚数单位，则
( )

A．
B．
C．
D．

3．有一段演绎推理是这样的：“指数函数
是增函数，
是指数函数，
是增函数。”，结论显然是错误的，原因是( )

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

4. 曲线
在点
处的切线与
轴交点的纵坐标是( )

A.
B.
C.
D.

5. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )

A．假设三个内角都不大于60° B．假设三个内角都大于60°

C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60°

6. 若函数
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

7．函数
有( )

A.极小值-2，极大值2 B.极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值1 D.极小值-1，极大值3

8．由>，>，>，…若a>b>0，m>0，则与之间大小关系为( )

A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定

9．若
，
在
处有极值，则
的最大值为( )

A.
B.
C.
D.

10. 已知
,

，猜想
为( )

A.
B.
C.
D.

11．已知函数
在
处取得极大值,在
处取得极小值,

满足
,
,则
的取值范围是( )

A．
　B．
　　 C．
　 D．

12 ．设
（
），且满足
。对任意正实数a，下面不等式恒成立的是( )

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答卷中相应横线上）

13．若
,
，且
为纯虚数，则实数
的值为 .

14. 已知
若
，则
.

15．已知
.

16．已知数列{an}的通项公式an＝ (n∈N*)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是 .

17．若A，B，C为
的三个内角，则
的最小值为 .

18．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数
的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数
)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)。已知函数
，有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是 . (注,e为自然对数的底数)

三．解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 已知复数

（1）若复数
所对应的点在第一象限，求实数m的取值范围；

（2）若复数
，求实数m的取值范围。

20.已知函数

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）求函数的单调区间.

21．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.

(1)当a＝1时，求等式f (x)≥3x＋2的解集；

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

22.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)(2)(3)(4)所示为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f (5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式。

23．已知函数
.

(Ⅰ) 当
时，求函数极值；

(Ⅱ) 若
在
上是单调增函数，求实数a的取值范围.

24．已知函数
在x＝2处取得极值。

（1）求实数a的值；

（2）
（e为自然对数的底数），若存在
（0,2），对任意
，总有
≥0，求实数m的取值范围。

嘉兴市第一中学2012学年第二学期期中考试

高二文科数学 答案

1～5：DAACB 6~10:BDBDC 11~12:BD

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

13．
14.
15． -2 16． (n∈N*) 17．

18．【答案】

【解析】根据题意：要有两个“伙伴点组”，只要函数
的图象关于原点对称的图象与函数
的图像有两个交点，即可。又函数
的图象关于原点对称的函数为
，令
，原题转化为只要
有两个零点，
，
在
上递减，在
上递增，
，即
．

三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

19. 解：（1）
（2）

20.(1)
(2)增区间:
; 减区间:

21．解　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2，

由此可得x≥3，或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．

(2)由f(x)≤0，得|x－a|＋3x≤0. 此不等式化为不等式组

或即或

因为a>0，所以不等式组的解集为. 由题设可得－＝－1，故a＝2.

22.解析：　(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.

(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4， 由上述规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，

f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，

f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，

…

f(2)－f(1)＝4×1 ∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1] ＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.

23．解：(Ⅰ) 易知，函数
的定义域为
.

当
时，
.

当x变化时，
和
的值的变化情况如下表：

x

（0,1）

1

（1，+∞）





－

0

＋





递减

极小值

递增



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由表知，
的单调递减区间是（0,1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是
.

(Ⅱ) 由
，得
.

若函数
为
上的单调增函数，则
在
上恒成立，即不等式
在
上恒成立.也即
在
上恒成立

令
，则
. 当
时，
，

在
上为减函数，
. 所以
.

∴
的取值范围为
.

24.解：（1）
．
,

函数f(x)＝ax－－6lnx在
处取得极值
，即
，解得

检验: 当
时

；
；

函数f(x)在
处有极小值． 所以
.

（2）由（1）知，f(x)＝2x－
－6lnx，

当
时，
，
在
上是增函数；

当
时，
，
在
上减函数；

所以
在
上的最大值为
．

因为g(x)＝(x－3)ex－m ， 所以
在[2，3]上恒成立

所以
在
上单调递增，其值域为

若存在x1∈(0，2)，对任意x2∈[2，3]，总有f(x1)－g(x2)≥0成立

即
， 也就是
，

即
.