第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一：选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确的．）

1．设复数
(其中为虚数单位，为的共轭复数)，则
的虚部为( )．

A．
B．
C．
D．

2．设函数
图象上一点
及邻近一点
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

3．已知
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

4．设
，为复数且满足
，则在复平面内对应的点在（）．

Ａ．轴下方 Ｂ．轴上方 Ｃ．轴左方 Ｄ．轴右方

5．函数
为偶函数，且
存在，则
（ ）．

A．1 B．-1 C． 0 D．

6．若函数
，则
（ ）．

A．3 B．-6 C． 2 D．

7． 若函数
是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）．

A．
B．
C．
D．

8．函数
在
上最大值和最小值分别是（ ）

A ．5 , －15 B ．5,－4 C．－4,－15 D ．5,－16

9． 若函数
在
内有极小值 , 则（ ）．

A．
B．
C．
D．

第1页（共4页）

10．下列说法正确的有（ ）个．

①已知函数
在
内可导，若
在
内单调递增，则对任意的
，有
．

②函数
图象在点
处的切线存在，则函数
在点处的导数存在；反之若函数
在点处的导数存在，则函数
图象在点
处的切线存在．

③因为
，所以
，其中为虚数单位．

④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和
中
的选取是任意的，且
仅于有关．

⑤已知
是方程
的一个根，则实数
的值分别是12，26．

A．0 B．1 C． 3 D．4

11．设
，若函数
，有大于零的极值点，则（ ）．

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
是定义在上的奇函数，
，当
时，有
成立，则不等式
的解集是（ ）．

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二：填空题（本大题共4个小题，每个题4分，共16分）

13．
．

14． 抛物线
上的点到直线
的最小距离为 ．

15．如果复数
（为虚数单位，
）为纯虚数，则
所对应的点关于直线
的对称点为 ．

16．已知函数
在
处有极大值，则
．

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三：解答题（本大题共6个小题，要写出必要的演算步骤．）

17．（本题满分12分）计算下列各题

（Ⅰ）已知函数
，求
；

（Ⅱ）求
．

(Ⅲ)已知为的共轭复数，且
，求

18． （本题满分12分）

已知函数
，其图象在点处的切线为
，点的横坐标为（如图）．

求直线
、直线
、直线
以及
的图象在第一象限所围成区域的面积．

19． （本题满分12分）

已知
是函数
的一个极值点．

（Ⅰ）求与
的关系式（用表示
），并求
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，求
在
上的值域．

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20． （本题满分12分）

设曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
，若存在
，使得
⊥
，求实数的取值范围．

21． （本题满分12分）

已知函数
,问是否存在自然数，使得方程
在区间
内有且仅有两个不等的实数解？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22． （本题满分14分）

已知函数
，

（Ⅰ）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，对任意的
,函数
在区间
上总不是单调函数，求取值范围；

(Ⅱ)求证：
．

第4页（共4页）

参考答案

1D 2C 3 C 4B 5C 6C 7D 8A 9A 10B 11B 12D

13．
14．
15．
16．6

17.(Ⅰ)

(Ⅱ)原式

(Ⅲ)

以上每个4分

18.略解

…………………………………4

直线
与轴的交点的横坐标为1,………………………6

所以
……………………………………………………12

19.略解: (Ⅰ)

由
得
………………………3

(1)当
,即
时

令
得

令
得

(2)当
,即
时

令
得

令
得

(1)当
,即
时

恒成立

综上述:

(1)当
时
的单调递增区间为
，递减区间

(2)当
时
的单调递增区间为
，递减区间

(3)当
时
在
上单调递增.

……………………………………………………………………………8

(Ⅱ)
时,
在
上增在
上减,
……………………………12

得值域为

21.略解

问题等价于方程
在
内有且仅有两个不等的实数根，

令

当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增；……………………4

由于
，……………………7

所以方程
在
内分别有唯一实数根，而在
内没有实数根………………………………………………10

所以存在唯一自然数
使得方程
在区间
内有且仅有两个不等的实数解。…………………………………………………………………12

，

……………………7

，可证
，

……………………………………………………9

(Ⅱ)令

即

因为
．．．．①

．．．．．②

又①式中“=”仅在n=1时成立，又
，所以②“=”不成立……………………………14