三明一中2012-2013学年高二下学期第一次月考数学理试题

（时间：120分钟）

（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共150分）

参考公式： 相关系数R2＝1－

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：(本大题10题，每小题5分，共50分)

若复数
满足
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列选项中，两个变量具有相关关系的是(　　)

A．正方形的面积与周长 B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间

C．人的身高与体重 D．人的身高与视力

3. 方程
的解共有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．命题：“正弦函数是奇函数，
是正弦函数，因此
是奇函数”结论是错误的，其原因是( )　

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.以上都不是

5. 已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且
=0.6826，则p（X>4）=（ ）

A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585

6. 下列四个命题 ：

(1)随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0

(2)残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；

(3)用相关指数
来刻画回归的效果时，
的值越小，说明模型拟合的效果越好；

(4)直线
和各点
的偏差
是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线.

其中真命题的个数 （ ）

　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.将4封信投入3个邮箱，则不同的投法为　（　　）

A．81　种　　　B．64　种　　　　C．4　种　　　 D．24种

8.甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）

A.72 B.96 C. 108 D.144

10．“点动成线，线动成面，面动成体”。如图，
轴上有一条单位长度的线段
，沿着与其垂直的
轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体（正方形
），再把正方形沿着与其所在的平面垂直的
轴方向平移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体（正方体
）。请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有
个顶点，
条棱，
个面，则
的值分别为 ( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）把答案填在题中横线上.

11．已知复数
（
为虚数单位)，则
．

12．
的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）

13.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)

14．若将函数
表示为

其中
，
，
，…，
为实数，则
＝______________．

15．已知数列
，
（
），若
，且

，则
中是1的个数为 ．

三、解答题：(本大题共6小题，共80分)解答应写出文字说明，证明过程和解题过程．

16、（满分13分）

2

3

4

5





2.5

3

4

4. 5



某车间为了规定工时额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下图：若加工时间
与零件个数
之间有较好的线性相关关系。（
）

（1）求加工时间与零件个数的线性回归方程；

（2）试预报加工10个零件需要的时间。

(附：回归方程系数公式
)

17、（满分13分）

已知二项式
的展开式中前三项的系数成等差数列．

(1)求
的值；(2)设
．

①求
的值； ②求
的值.

18．（满分13分）

某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.

(1)在乙班样本的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2个,求抽出的2个至多一个“成绩优秀”的概率；

（2）由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关.

甲班(A方式）

乙班(B方式）

总计



成绩优秀









成绩不优秀









总计









附：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025



k

1.323

2.072

2. 706

3. 841

5. 024



19.（满分13分）

已知函数
，且任意的

（1）求
、
、
的值；（2）试猜想
的解析式，并用数学归纳法给出证明.

20．（满分14分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上



顾客数（人）



30

25



10



结算时间（分钟/人）

1

1.5

2

2.5

3



已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．

（1）确定
的值，并求顾客一次购物的结算时间
的分布列与数学期望；

（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过
分钟的概率．（注：将频率视为概率）

21. （满分14分）

一袋中有6个黑球，4个白球．

(1)依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；

(2)有放回地依次取出3球，已知第一次取的是白球，求第三次取到黑球的概率；

(3)有放回地依次取出3球，求取到白球个数X的分布列、期望和方差．

三明一中2012-2013学年下学期月考试卷答案

高二（理科）数学

三．解答题

（2） 列联表

甲班(A方式）

乙班(B方式）

总计



成绩优秀

1

5

6



成绩不优秀

19

15

34



总计

20

20

40



……………7分

的观测值
，……………12分

因为

所以有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关. …………13分

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，
∴猜想正确；……………7分

②假设当

那么当

所以，当
时，猜想正确

由①②知，对
，
正确.……………………13分

20.（1）由已知,得
所以

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

………………5分

的分布为

X

1

1.5

2

2.5

3



P













X的数学期望为

.…………9分

（2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，
为该顾客前面第
位顾客的结算时间，则

.

由于顾客的结算相互独立，且
的分布列都与X的分布列相同，所以

.

故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为
.………………14分

∴X的分布列为：

X

0

1

2

3



P











显然这个试验为独立重复试验，X服从二项分布，即X～B(3，)．…… 12分

……14分