潮师高级中学2012-2013学年高二3月月考数学理试题

一．选择题（每小题5分，共40分）

1．若集合
则集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
，那么下列判断中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．满足条件a=4,b=3
,A=45°的
ABC的个数是（ ）

A．一个 B．两个 C．无数个 D．零个

4．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点, 那么（ ）

A．D=0,E≠0, F≠0; B．E=F=0,D≠0; C．D=F=0, E≠0; D．D=E=0,F≠0;

5.设
、
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

6．如图1，
为正三角形，
，
，且


，则多面体
的正视图(也称主视图)是（ ）

7．已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（ ）

A． 8 B． 6 C． 3
D． 4

8．已知x1 、x2 是方程4x2 -4mx+m+2=0的两个实根,当x12 +x22 取最小值时,实数m的值是（ ）

A． 2 B．
C． －
D．－1

二.填空题(每小题5分,共30分)

9．空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4)，则
_______.

10．数列
…的一个通项公式是 .

11．

12．已知函数
，若
，则
　　　　　　　　．

13．直线
与圆
交于E、F两点，则弦长EF=

14．正方体的全面积是24，则它的外接球的体积是_____________．

三．解答题（本大题共6小题，解答题应写出文字说明，演算步骤或推证过程）

15．（12分）已知函数
．

（１）求
的最小正周期；（２）若
的最大值为
，求
的值．

16．（12分）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点。

　 （1）求AB所在直线的一般式方程；

　 （2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．

17．（14分）如图：正三角形ABC与直角三角形BCD所在平面互相垂直，且
，

．

（１）求证：
；

（２）求二面角
的正切值．

18．（14分）已知四棱锥S-ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a, M、N分别为AB、SC中点。

（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的表面积；

（Ⅱ）求证：MN∥平面SAD 。

19．(14分)已知圆
，直线
．

（１）若
与
相切，求
的值；

（２）是否存在
值，使得
与
相交于
两点，且
（其中
为坐标原点），

若存在，求出
，若不存在，请说明理由．

20．（14分）设等差数列
的前
项和为
，且
，
。数列
满足
，
，
，

①求数列
的通项公式；

②设
，求证：
是等比数列，且
的通项公式；

③设数列
满足
，求
的前
项和为

潮师高中高二第一学期期中考试卷（理数）

参考答案

一．选择题（每小题5分，共40分）

1-8 DCBA BDBD

二.填空题(每小题5分,共30分)

9．3 10．an=
11．810 12．7 13．4 14．4
π

三、解答题（本大题共6小题，解答题应写出文字说明，演算步骤或推证过程）

15. 【详解】f(x)=(cosx－sinx)2+m ……2分

=cos2x+sin2x－2cosx·sinx+m ……4分

=1－sin2x+m ……6分

(Ⅰ)f(x)的最小正周期为T=
=π ． 　　 ……9分

(Ⅱ)当sin2x=－1时f(x)有最大值为2+m ， ……10分

∴2+m=3 ， ∴m=1 ． ……12分

16. 【详解】

17. 【详解】(Ⅰ)证明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC,

∴DC⊥平面ABC，

又AB
平面ABC，∴DC⊥AB． ……5分

(Ⅱ)解：过C作CE⊥AB于E，连结ED，

∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，

∴AB⊥平面ECD，

又DE
平面ECD，∴AB⊥ED，

∴∠CED是二面角D－AB－C的平面角， ……9分

设CD=a，则BC=
=
a，

∵△ABC是正三角形，∴EC=BCsin60o=
，

在Rt△DEC中，tan∠DEC=
=
=
． ……14分

18. 【详解】（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，

∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，

又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，

∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD， （3分）

∴ΔSAB≌ΔSAD ， ΔSBC≌ΔSCD ，

又∵SB=
a，

∴S表面积=2SΔSAB+2SΔSBC+ SABCD

=
（7分）

（Ⅱ）取SD中点P，连接MN、NP、PA，

则NP=
CD，且NP∥CD， （9分）

又AM=
CD，且AM∥CD，

∴NP=AM ，NP∥AM，

∴AMNP是平行四边形， （12分）

∴MN∥AP，

∴MN∥平面SAD 。 （14分）

19. 【详解】(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y－3)2=9，

圆心为C(－1，3)，半径为r=3， ……2分

若 l与C相切，则得
=3， ……4分

∴(3m－4)2=9(1+m2)，∴m=
． ……5分

(Ⅱ)假设存在m满足题意。

由 x2+y2+2x－6y+1=0 ，消去x得

x=3－my

(m2+1)y2－(8m+6)y+16=0， ……7分

由△=(8m+6)2－4(m2+1)·16>0，得m>
， ……8分

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=
，y1y2=
．

OA·OB=x1x2+y1y2

=(3－my1)(3－my2)+y1y2

=9－3m(y1+y2)+(m2+1)y1y2

=9－3m·
+(m2+1)·

=25－
=0 ……12分

24m2+18m=25m2+25，m2－18m+25=0，

∴m=9±2
，适合m>
，

∴存在m=9±2
符合要求． ……14分

20. 【详解】（1）由
，

得
，
……4分

（2）
，

是以2为公比的等比数列

又


……9分

（3）

+
+、、、、、

＋（１＋２＋、、、＋
）－ ｎ

　　＝

　　＝
……14分