梁山一中2012—2013学年高二3月质量检测

数学（理）

一、选择题（本题共10个小题；每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.下列命题中是全称命题的是（ ）

A．圆有内接四边形

B.>

C.<

D．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形

2.给出下列四个命题：

①若
，则
或

②若
，则

③若
，则

④若
,
是奇数，则
中一个是奇数，一个是偶数，那么（ ）

A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真

C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假

3. 已知：
，那么的一个必要不充分条件是（ ）

A.
B.

C.
D.

4.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，则动圆圆心轨迹是（ ）

A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支

5.抛物线
上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．0

6．已知函数
在
处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ）

A．
B．
C．
D．
7．曲线
在点
处的切线与轴、直线
所围成的三角形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，若
在区间
上单调递减，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如图①，在平行四边ABCD中，
，那么在图②中所示的平行六面体
中，
等于（ ）

A．

B．

C．

D．

10．已知函数
是定义在R上可导函数，满足
，且
，对
时。下列式子正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

11.经过点
的直线
与抛物线
的两个交点处的切线相互垂直，则直线
的斜率
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为(　 )

A．a＝－4，b＝11 B．a＝
，b＝
或a＝－4，b＝11

C．a＝－1，b＝5 D．以上都不正确

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米， 水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．

14.短轴长为
，离心率
的椭圆的两焦点为
、
，过
作直线交椭圆于A、B两点，则
的周长为________.

15.已知命题：“
”，

命题：“
，
”，

若命题“且”是真命题，则实数的取值集合是____ ____．

16.给出下列四个命题：

①如果椭圆
的一条弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线的斜率为
；

②过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线共有3条。

③双曲线
的焦点到渐近线的距离为b。

④已知抛物线
上两点
，
且OA⊥OB(O为原点),则
。

其中正确的命题有 （请写出你认为正确的命题的序号）

三、计算题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分10分）

已知
，若﹁p 是﹁q的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）直线
为曲线
的切线，且经过原点，求直线
的方程及切点坐标．

19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，点坐标为
，点与点关于坐标原点对称，过动点作轴的垂线，垂足为点，而点满足
，且有
，

（1）求点的轨迹方程；

（2）求
面积的最大值；

（3）斜率为
的直线
被（1）中轨迹所截弦的中点为
，若
为直角，求
的取值范围.

20. （本小题满分12分）

设双曲线的顶点为
，该双曲线又与直线
交于
两点，且
（
为坐标原点）。

（1）求此双曲线的方程；

（2）求

21．（本小题满分13分）

已知函数
。

（1）若
在
处取得极值，求的值；

（2）求
的单调区间；

（3）若
且
，函数
，若对于
，总存在
使得
，求实数
的取值范围。

22. （本小题满分12分）

如图，线段
的两个端点、分别分别在轴、轴上滑动，
，点
是
上一点，且
，点
随线段
的运动而变化.

（1）求点
的轨迹方程；

（2）设
为点
的轨迹的左焦点，
为右焦点，过
的直线交
的轨迹于
两点，求
的最大值，并求此时直线
的方程.

参考答案：

1-5 AABDC 6-10 BCDCD 11-12 AA

13.
14. 6 15.
或
16.①②③

17.解：由
得
，

∴﹁p对应的解集

由
得
，

∴﹁q对应的解集

∵﹁p 是﹁q的充分不必要条件，且

∴
，∴
，∴

18.解：（1）

在点
处的切线的斜率
，

切线的方程为
；

（2）设切点为
，则直线
的斜率为
，

直线
的方程为：
．

又直线
过点
，

，

整理，得
，
，

，

的斜率
，直线
的方程为
，切点坐标为
．

19．解：（1）设
，
，由
得
，即
.

（2）设
，
面积
，其中
为点到直线
的距离，而
.

（3）设直线
的方程为
，

联立
得
.

由
得
①，

设
，由韦达定理及中点公式得

，
，

由
可知
，代入上式得
②，

由①和②消去得
或
.

20．解：∵双曲线的顶点为
，

∴可设双曲线的方程为
（
）

由
得
，

设A（
），B（
）

当
时，显然不满足题意

当
时，
且

又
，∴
，即

∴
，∴
， 经验证，此时
，…9分

∴双曲线的方程为

（2）由（1）可得
，

∴
＝

＝

21.（本小题14分）

解：（1）

（2）

若

若
或
（舍去）











－

0

＋















（3）
由（2）得

又

由

22.解：（1）由题可知点
，

且可设A（
，0），M（
），B（0，
），

则可得
，

又
，即
，∴
，这就是点M的轨迹方程。

（2）由（1）知
为（
，0），
为（
，0），

由题设PQ为
，

由
有
，

设
，
，

则
恒成立，
且
，

∴
=
=

=
=
=

令
（
），则
=

，

当且仅当
，即
时取“=”∴
的最大值为6，

此时PQ的方程为
或