微山一中2012—2013学年高二上学期期末考试

数学（理）

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为( )．

A．2 B．
C．－2 D．－

2．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）.

A．
B．
C．
D．

3.对于平面直角坐标系内的任意两点
，定义它们之间的一种“距离”：
．给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则
;

②在
中，若∠C=90°，则
；

③在
中，
．

其中真命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

4．若点
在圆C:
的外部，则直线
与圆C的位置关系是（　　）

A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相切

5．已知圆的方程为
.设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC和BD，且
.则四边形ABCD的面积最大值为（ ）

A．20
　　　 B．30
　　　　 C．49　　　 D．50

6. 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且
，则
（ ）

A．
B .
C.
D.

7. 已知双曲线的渐近线为
，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知P在抛物线
上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．如图所示，正方体
的棱长为1，O是平面

的中心，则O到平面
的距离是（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦

点，且两曲线的一个交点为，若
，则双曲线的渐近线方程为.

A．
B．
C．
D．

11．若过定点
且斜率为
的直线与圆

在第一象限内的部分有交点，则
的取值范围是（ ）.

A．
B.

C．
D.

12.设P是双曲线＝1(a＞0 ,b＞0)上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心

率是，且∠F1PF2＝90°，△F1PF2面积是9，则a + b＝（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

二、填空题：（共4个小题，每小题5分,共20分.）

13．图中的三视图表示的实物为_____________.

14. 过点
，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_________________．

15．已知
，则
的最小值等于.

16．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点
落在圆x2＋y2＝16内的概率是.

三、解答题：（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

求直线
被圆
所截得的弦长.

18．（本小题满分12分）

已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．

19. （本小题满分12分）

已知在平面直角坐标系
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
,右顶点为
,设点
.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段
中点
的轨迹方程；

（3）过原点
的直线交椭圆于点
，求
面积的最大值。

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系O中，直线
与抛物线
＝2相交于A、B两点。

（1）求证：命题“如果直线
过点T（3， 0），那么
＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

21. （本小题满分12分）

在直角梯形PBCD中，
，A为PD的中点，如下左图。将
沿AB折到
的位置，使
，点E在SD上，且
，如下图。

（1）求证：
平面ABCD；

（2）求二面角E—AC—D的正切值．

22．（本题满分12分）

已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，

离心率为
．

（1）求椭圆方程；

（2）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，

又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段
所成的比为2，

求线段AB所在直线的方程．

[来源:学&科&网]

参考答案：

1-5 DABCC 6-10 BDBBB 11-12 AD

13. 圆锥 14. y=
x或x+y=6 15.
16.

17．解：圆心为
，则圆心到直线
的距离为
，半径为

得弦长的一半为
，即弦长为
.

18．解：(1)因为直线l的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝
，又直线l经过点

(0，－2)，所以其方程为
x－y－2＝0．

(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是
，－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝
·
·2＝
． 　　

19．解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=
,则半短轴b=1.

又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),

由

x=

得



x0=2x－1





y=



y0=2y－



又点P在椭圆上,得
,

∴线段PA中点M的轨迹方程是

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入
,

解得B(
,
),C(－
,－
),

则
,又点A到直线BC的距离d=
,

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

由
≥－1,得S△ABC≤
,其中,当k=－
时,等号成立.

∴S△ABC的最大值是

20.（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线
=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).

当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,
)、B(3,－
)，∴

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6. 又∵x1=
y12, x2=
y22,

∴
=x1x2+y1y2=
=3.

综上所述, 命题“......”是真命题.

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果
,那么该直线过点T(3,0).”…10分，该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(
,1),此时
=3,直线AB的方程为y =
(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.

21.解：（1）证明：在图中，由题意可知，

为正方形，所以在图中，
，

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为
，ABBC，

所以BC平面SAB，

又
平面SAB，所以BCSA，又SAAB，

所以SA平面ABCD，

（2）解法一： 在AD上取一点O，使
，连接EO。

因为
，所以EO//SA

所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，

则AC平面EOH，所以ACEH。

所以
为二面角E—AC—D的平面角，

在
中，
…11分

，即二面角E—AC—D的正切值为

22.解：（1）
，
，
，
．

所以，所求椭圆方程为

（2）设
，
，

由题意可知直线AB的斜率存在，设过A，B的直线方程为

则由
得

故
，

由M分有向线段
所成的比为2，得
，……8分

消 x2得

解得
，

所以，